Формула Ф. С. Ясинского. Допускаемое напряжение при продольном изгибе

Для определения величины критического напряжения следует величину критической силы Р, разделить на площадь поперечного сечения F, т.е.

.

На основании формул (13.14) и (13.15) можно написать: , тогда:

.

Перенеся величину в знаменатель, получим:

(33.1)

Отношение расчетной (приведенной) длины стержня к наименьшему радиусу инерции называется гибкостью стержня и обозначается буквой λ, т.е.

. (33.2)

Введя обозначение гибкости стержня в формулу (33.1), получим:

(33.3)

Поэтому, если , формула Эйлера применима, если же , то неприменима. Очевидно, что границей применимости форму­лы Эйлера будет случай, когда . Для практических целей удобнее выразить пределы применимости формулы Эйлера через гибкость λ.

Заменим в формуле (33.3) на (предел пропорциональности) откуда определится значение предельной гибкости стержня:

.

Приняв для стали Ст.3 = 2000 кг/см² и кг/см², по­лучим:

,

т.е. если гибкость стержня , то формула Эйлера применима, если же , то неприменима.

Опыты показывают, что в тех случаях, когда критические напряжения полу­чаются больше предела пропорциональности, то действительные критические силы оказываются на много меньше вычисленных по формуле Эйлера. Эта формула на практике оказалась применимой только для определенной категории стержней - гибких и длинных, т.е. с большой гибкостью λ. (Продольный изгиб в преде­лах упругих деформаций).

На основе опытных данных Ф. С. Ясинским была предложена эмпирическая фор­мула для определения критического напряжения в сечениях стержней некоторых конструкционных материалов:

, (33.4)

где А и В - коэффициенты, определяемые опытным путем.

Для стали Ст.3 формула (33.4) имеет вид:

(кг/см²). (33.5)

Определив величину критического напряжения, можно вычислить критичес­кую силу по формуле:

. (33.6)

Формула Ф. С. Ясинского пригодна не при всех значениях гибкости λ. На рис. 43 изображен график зависимости критического напряжения от гибкости для стали Ст.3.

Для гибкости от 0 до 40 критическое напряжение, примерно, постоянно;:

и поэтому стержни рассчитывают не на устойчивость, а на прочность при осевом сжатии. Стержни со средней гибкостью, находящейся в пределах , рассчитывают по формуле Ф. С. Ясинского, так как продольный изгиб наблюдается в пластической стадии.

Перейдем теперь к вопросу о допускаемом напряжении при продольном изги­бе, которое можно определить при больших гибкостях () по формуле (33.3), а при средних гибкостях () по формулам (33.4) и (33.5), разделив найденное по ним значение критической силы на коэффициент за­паса К_у.

Коэффициент запаса устойчивости К_у принимают в пределах: для стали от 1,8 до 3; для дерева от 2,8 до 3,2.

Следовательно, для каждого значения гибкости λ, можно определить свое значение допускаемого напряжения при продольном изгибе:

(33.7)