Сложное сопротивление. Косой изгиб

До сих пор были рассмотрены случаи, когда элементы конструкций, подвер­женные действию внешних сил, испытывали только одну из простых деформаций: осевое растяжение или сжатие, сдвиг, изгиб и кручение. В действительности, во многих случаях элементы конструкций при работе испытывают одновременно не одну из перечисленных деформаций, а две или больше.

Например, валы машин испытывают одновременно деформации кручения и изгиба: колонны и столбы, нагруженные внецентренно, испытывают, кроме сжатия или растяжения, еще изгиб.

Элементы конструкций, испытывающие одновременно по две и более деформаций, находятся в состоянии сложного сопротивления.

Рассмотрим некоторые случаи сложного сопротивления, причем при определении напряжений и деформаций будем пользоваться принципом независимости действия сил. Одним из видов сложного сопротивления является косой изгиб. Случай изгиба, когда силовая плоскость не совпадает ни с одной из главных плоскостей бруса, называется косым изгибом.

Из определения понятия косого изгиба следует, что брусья с круглым, квадратным, равносторонним шестиугольным, восьмиугольным и им подобным сечениями, у которых две любые взаимно перпендикулярные центральные оси являются главными, косого изгиба испытывать не будут.

На косой изгиб работают балки с несимметричным сечением. Рассмотрим деформацию косого изгиба на следующем примере. Пусть на кон­соль действует сосредоточенная нагрузка Р, приложенная на свободном конце под углом α к главной плоскости YOZ (рис. 39а). Требуется определить наиболь­шие напряжения в поперечных сечениях бруса, его прогибы, а также положение нейтраль­ной оси (нулевой линии) и построить эпюру нормальных напряжений.

Чтобы проверить проч­ность бруса при косом изги­бе, нужно найти в опасном его сечении точку с наи­большим нормальным напряже­нием. Действующую под углом силу Р разложим на две со­ставляющие P_x и P_v по направлениям главных осей инерции 0,X и 0,Y.

Величины составляющих равны: ;

Заменив силу Р двумя составляющими, мы привели случай косого изгиба к двум прямым изгибам, вызываемым совместно силами Р_х и Р_у в двух главных плоскос­тях бруса.

Для определения напряжений в точках поперечных сечений бруса при его косом изгибе необходимо алгебраически суммировать напряжения, возникающие от сил Р_х и Р_у, т.е. от каждого прямого изгиба в отдельности. Перемещения (прогибы) попе­речных сечений определяются геометрическим сложением их перемещений, происходя­щих в каждой из главных плоскостей.

Рассмотрим поочередно действие составляющих сил.

1. Сила Р_у изгибает брус в плоскости главной оси инерции у, нейтральной осью сечения будет ось х (рис. 39б). От действия этой силы в сечениях бруса выше нейтральной оси будут возникать растягивающие напряжения, а ниже - сжи­мающие. В данном случае изгиб будет плоским и величина нормальных напряжений определяется по формуле: .

2. Сила P_x изгибает брус в плоскости другой главной оси инерции х; нейтральной осью сечения будет ось у (рис. З9в), знаками на сторонах АВ и СD отмечен характер распределения напряжений: слева - сжатие, справа - растя­жение. Нормальные напряжения для этого случая: .

В последних двух формулах и

представляют собой изгибающие моменты в опасном сечении балки, т.е. в плоскости заделки АВСD.

Для определения полного нормального напряжения σ от действия силы Р ал­гебраически суммируем напряжения σ_x и σ_y:

(28.1)

где I_x, I_y- моменты инерции сечения относительно главных осей X, Y, множители х и у - координаты точки, для которой определяется напряжение.

Применяя формулу (28.1), следует руководствоваться ранее принятым правилом знаков для напряженияσв произвольной точке сечения. В точках сечения, ле­жащих выше оси X, будут действовать растягивающие напряжения от действия M_x; значит, перед членом, содержащим M_x, надо поставить знак "плюс" (растянутая зона), а для точек сечения, лежащих ниже оси X - знак "минус" (сжатая зона). Для точек сечения, лежащих справа от оси У, перед членом, содержащим М_y, сле­дует поставить знак "плюс" (растянутая зона), а для точек, лежащих слева от нее - знак "минус" (сжатая зона).

Нейтральная ось или нулевая линия, т.е. линия, на которой нормальные на­пряжения равны нулю, не будет совпадать ни с одной из осей X, У. Она не будет и перпендикулярной к плоскости действия нагрузки.

Определим положение нулевой линии, для чего выразим составляющие моменты M_x и M_y через результирующий момент М, действующий в силовой плоскости:

; .

Подставив значения M_x и М_у в формулу (28.1), получим:

.

Для составления уравнения нулевой линии необходимо приравнять это выраже­ние нулю; причем слагаемые в скобках следует взять с обратными знаками, поскольку во 2 и 4-м квадрантах, где должна пройти нейтральная ось, координаты X и У име­ют разные знаки (см. рис. 39г, точку К); следовательно, будем иметь:

Но так как изгибающий момент М = Р не может быть равным нулю, то оста­ется принять равным нулю выражение в скобках, т.е.

или

Обозначив через βугол наклона нулевой линии к оси X, получим:

,

после чего выражение для тангенса угла наклона нулевой линии к оси X примет вид:

(28.2)

Как видно из формулы (28.2), углы α и β в общем случае не равны между собой, т.е. нулевая линия не перпендикулярна силовой линии, как это имело место в случае плоскою изгиба. Взаимная перпендикулярность их будет только втех случаях, когда I_x=I_y, т.е. для квадратных, круглых и других сечений, удо­влетворяющих условию равенства главных центральных моментов инерции сечения.

В результате вывода формулы (28.2) оказалось, что правая часть положитель­на, а это значит, что принятый нами отсчет угла по движению часовой стрелки ока­зался правильным, т.е. совпадает с направлением отсчета угла β, сделанного также по направлению движения часовой стрелки.

Теперь, пользуясь принципом независимости действия сил, определим пере­мещения при косом изгибе. Прогибы свободного конца балки от действия сил Р_х и Р_y могут быть определены любым из изложенных выше способов. Они получаются рав­ными:

; ,

причем, прогиб от действия силы Р_х направлен по оси X, а прогиб от действия силы Р_у - по оси Y. Полный прогиб конца балки выразится геометрической суммой обоих прогибов:

.

Направление полного прогиба определяется значением тангенса угла его на­клона к оси Y:

,

или (28.3).

Сопоставляя формулы (28.2) и (28.3), находим, что правые их части равны, а значит, равны и их левые части, т.е.

или

откуда следует, что полный прогиб направлен перпендикулярно к нулевой линии, т.е. прогиб балки происходит в плоскости, перпендикулярной кулевой линии.

Формулы (28.1), (28.2) и (28.3) были выведены на примере бруса прямоуголь­ного сечения, но они действительны и для других сечений, у которых оси X и Y являются главным осями инерции. Наибольшие напряжения в брусьях, сечения ко­торых имеют две оси симметрии и опасная точка максимально удалена от обеих главных осей (например, прямоугольник, двутавр), определяют по формуле:

(28.4)

Знаки перед каждым членом правей части формулы берут в зависимости от положения рассматриваемой точки в сечении. В нашем случае, например, для точ­ки "С”(рис. 39г) надо взять плюс, а для точки "А" - минус.

Таким образом, расчетное уравнение на прочность при косом изгибе для ба­лок с сечением указанных типов будет иметь вид:

(28.5)

§ 29. Внецентренное сжатие (растяжение)

Когда сжимающая (растягивающая) сила или равнодействующая нескольких сил действует параллельно оси бруса, но точка приложения ее не совпадает с центром тяжести поперечного сечения бруса, то такое сжатие или растяжение на­зывается внецентренным.

Рассмотрим сначала случай, когда линия действия сжимающей (растягивающей) силы находится в плоскости, проходящей через главную ось инерции сечения на некотором расстоянии от центра тяжести сечения (рис. 40).

Расстояние l точки приложения силы до центра тяжести сечения называется эксцентриситетом.

Пусть сила Р приложена в точке А. Приведем силу Р к центру тяжести сечения, для чего при­ложим в нем (точка 0) две силы, равные по вели­чине силе Р, но обратные по направлению. В ре­зультате этого теперь на брус будут действовать три силы: сила Р, приложенная в центре тяжести сечения, и две силы Р, составляющие пару с мо­ментом (перечеркнутые двумя черточками). Очевидно, что сила Р, приложенная в центре се­чения, будет равномерно сжимать брус, а момент пары будет его изгибать. Таким образом, случай внецентренного сжатия бруса мы свели к цент­ральному сжатию и изгибу.

Применяя метод сечений, находим, чтов лю­бом поперечном сечении бруса возникает два внутренних силовых фактора:

продольная сила , изгибающий момент

Следовательно, в данном случае имеет место сочетание чистого прямого изгиба с центральным сжатием. Поскольку собственный вес бруса здесь не учитываем, значения внутренних силовых факторов будут одинаковы во всех поперечных сечениях.

Величина нормального напряжения, возникающего в любой точке поперечного сечения бруса, определяется как алгебраическая сумма двух напряжений: σ_N - от центрального сжатия и σ_M от прямого изгиба, т.е. ,

или на основании формул:

(29.1)

При этом каждое из слагаемых подставляется в эту формулу со своим знаком по характеру деформации бруса, т.е. в данном случае формула будет иметь вид:

(29.2)

В случае приложения силы Р в точке В:

(29.3)

Наибольшее напряжение в сечении:

(29.4)

Для определения максимального значения напряжения (по грани 1-3) перед вторым членом правой части формулы следует поставить знак «плюс», тогда:

(29.5)

а для определения минимального значения напряжения (по грани 2-4) – знак «минус», тогда:

(29.6)

Если сила Р будет приложена в точке В (рис. 40б), т.е. по оси Y, то формулы (29.5) и (29.6) примут вид:

(по грани 1-2) (29.7)

(по грани 3-4) (29.8)

Приняв для прямоугольного сечения ; и сделав преобразования, придадим формуле (29.4) другой вид, более удобный для некоторых исследований:

,

или окончательно: (29.9)

Результат исследования формулы (29.9), с точки зрения влияния величины эксцентриситета на знак и величину напряжения, можно свести к следующим трем положениям (см. рис. 41):

1) если точка приложения равнодействующей всех сил, приложенных к прямоугольному сечению бруса, не выходит из пре­делов средней трети сече­ния, т.е. эксцентриситет не превышает , то напряжения в сечении бу­дут одного знака, а нуле­вая линия проходит за пределами сечения. Область, из которой не выходит равнодействующая, называ­ется ядром сечения;

2) если точка прило­жения равнодействующей лежит на грани средней трети сечения, то одно из краевых напряжений равно нулю, а другое - в два раза больше напряжения, возникающего при централь­ном сжатии: нулевая линия при этом проходит по грани сечения;

3) если точка приложения равнодействующей находится за пределами средней трети, то напряжение в сечении будут разных знаков, а нулевая линия пересекает сечение.

На рис. 41 точка приложения силы Р дана справа от оси сечения; соответст­венно этому построены и эпюры нормальных напряжений; в случае расположения си­лы Р слева от оси сечения соответственно изменится и эпюры нормальных напря­жений, а также и положение нулевых линий (см. пунктир на рис.41).

Хрупкие материалы очень плохо сопротивляются растяжению, допускаемые их напряжения на растяжение очень малы. Поэтому для них необходимо так под­бирать их поперечные размеры, чтобы точка приложения равнодействующей не выхо­дила за пределы средней трети сечения (ядра сечения), т.е. чтобы эпюра напряже­ний соответствовала эпюре по (рис. 4а) или, в крайнем случае, - эпюре по (рис. 41б).