Линейные и угловые перемещения при изгибе

Мы знаем, что при изгибе ось балки искривляется и, следовательно, точки, лежащие на ней, получают некоторые перемещения, которые, однако, настолько малы по сравнению с длиной балки, что направления их можно считать перпендику­лярными первоначальному положению оси балки. Эти перемещения называются про­гибами.

Кривая, в которую обращается первоначальная ось балки под действием внешних сил, называется изогнутой осью балки или упругой линией (рис. 34).

Прогибы в разных сечениях различны и зависят от расстояния z от принятого начала координат, например, совпадающего с точкой А, т.е. . При z= 0, y = 0, а при он достигает наибольшего своего значения, т.е. , где f – наибольший прогиб или стрела прогиба.

Оси координат условимся располагать сле­дующим образом.

Начало координат примем на левом конце балки, ось z - напра­вим вправо по оси бал­ки, а ось y - вверх. Такое расположение осей координат даст возможность считать прогибы балки вниз от­рицательными, а прогибы вверх – положительными.

Угол, составленный касательной к любой точке К изогнутой оси с первоначальным ее положением, условимся обозначить θ. На основании гипотезы плоских сечений, пренебрегая искривлением сечении балки при поперечном изгибе, бу­дем считать, что поперечное сечение балки, проведенное через произвольную точ­ку "К" первоначальной оси, поворачивается при изгибе балки на тот же угол θ. Следовательно, уголθвыражает угловое перемещение поперечного сечения бал­ки при изгибе и называется углом поворота сечения балки. Он равен первой про­изводной по z от прогиба в этом сечении, т.е.

Для определения вида изогнутой оси балки необходимо составить ее уравнение, т.е. выразить ординаты (прогибы балки) в функции от положения точек по длине балки, другими словами, найти зависимость . Чтобы найти эту зави­симость, используем равенство (21.2), полученное при выводе формулы нормальных напряжений при изгибе: и выражающее связь кривизны балки с изгибающим моментом и поперечной жесткостью сечения.

Формула кривизны, получаемая из дифференциальной геометрии, выражает ее связь с производными и от ординат кривой.

(25.1)

Зависимость эту можно упростить, имея в виду, что прогибы балок очень малы по сравнению с длиной балки, а углы поворота также не составляют величины, боль­шей 1°. В знаменатель же правой части этой формулы входит - тангенс угла наклона в квадрате, являющийся малой величиной по сравнению с 1, входящей в двучлен знаменателя, а поэтому ее отбрасывают, в результате чего формула принимает вид:

(25.2)

т.е. кривизна балки приближенно равна второй производной от прогиба. Теперь формулу можно представить так:

, или . (25.2)

Напомним из математики, что знак второй производной зависит от направления осей координат, а именно: она будет иметь положительное значение, если вогну­тость кривой направлена в сторону положительной оси, и, наоборот, будет отри­цательной, если в сторону положительной оси направлена выпуклость кривой (рис. 35).

Изгибающий момент, как мы условились, в первом случае будет положителен, во втором - отрицателен. Таким образом, при направлении оси y вверх в уравнении

нужно оставить знак "плюс", а при направлении оси вниз - знак "минус".

В дальнейшем будем направлять ось y всегда вверх, тогда дифференциальное уравнение примет вид:

(25.4)

Полученное уравнение (25.4) называется дифференциальным уравнением изог­нутой оси балки.

Существует несколько методов решения этого уравнения.

Аналитический метод решения состоит в двукратном интегрировании дифферен­циального уравнения (25.4), в результате чего первое интегрирование дает уравнение углов поворота:

,

а второе интегрирование - уравнение прогибов:

.

После каждого интегрирования получают постоянную интегрирования. Таким образом, для любого участка балки в результате двукратного интегрирования урав­нения изогнутой оси получают две постоянные интегрирования. Следовательно, при наличии нескольких участков аналитический метод приводит к решению системы урав­нений с большим числом неизвестных постоянных интегрирования. Постоянные интегрирования определяют из условий закрепления балки (граничных условий), а также из условий на границах смежных участков. При этом: а) каждая неподвижная или под­вижная опора дает одно условие - равенство нулю прогиба в сечении балки на опо­ре; б) от каждой жесткой заделки (защемления) можно получить два условия - равенстве нулю прогиба и угла поворота в сечении заделки; в) от каждой границы двух смежных участков получаем два условия - равенство между собой прогибов и углов поворота общих сечений на границе обоих участков.