Интеграл Мора и способ Верещагина

Пусть требуется определить вертикальное перемещение точки "А" балки (рис. З6а). Обозначив действительное состояние балки Р, а фиктивное состояние ее - i, приложим к ней единственную внешнюю силу, равную, единице, по направ­лению искомого перемещения (рис. 36б).

Работа внешних сил равна произведению единичной силы на искомое переме­щение:

Работа внутренних сил:

Но если деформации тела совер­шенно упругие, то работа внешних сил численно равна работе внут­ренних сил, т.е. .

Следовательно:

(26.1)

Формула (26.1) называется фор­мулой (интегралом) Мора и позво­ляет определить перемещение любой линейно деформируемой системы (или балки) от любой нагрузки. Подинтегральное выражение в этой формуле следует считать положи­тельным, если оба изгибающих момента входят в формулу с одинаковыми знаками или, что то же, эпюры их расположены по одну сторону оси балки.

Вычисление перемещений по формуле Мора весьма упрощается, если одна из эпюр прямолинейна, а жесткость балки постоянна. Тогда при определении переме­щения интеграл Мора вычисляют графоаналитически по способу А.Н.Верещагина.

Основное преимущество этого способа состоит в том, что при его помощи можно обойтись без составления уравнения моментов и без интегрирования их про­изведений. Эти трудоемкие операции заменяются простейшими геометрическими вы­числениями, заключающимися в "перемножении эпюр" изгибающих моментов от дейст­вительной и фиктивной (единичной) нагрузок.

Предположим, что на участке АВ балки постоянной жесткости (рис. 37) эпюра M прямолинейна и выражена уравнением , вторая же эпюра с произволь­ным очертанием М_р(z).

Подставив выражение М в интеграл Мора, получим:

Очевидно, что первый интеграл пред­ставляет собой статический момент пло­щади ωотносительно оси ординат, рав­ный , а второй интеграл - пло­щадь эпюры М_р в пределах от А до В, следовательно:

.

Но множитель -ордината прямолинейной эпюры М_i, нахо­дящаяся против центра тяжести площади. Поэтому окончательно имеем:

, 26.2)

т.е. перемещение любой точки прямого бруса равно произведению площади эпюры M_p (произвольного очертания) на расположенную против ее центра тяжести орди­нату прямолинейной эпюры M_i, деленному на жесткость сечения балки.

Следует иметь в виду, что ордината η берется только из прямолинейной эпюры.

Пример: определить вертикальное перемещение (прогиб) и угол поворота концевого сечения консольной балки постоянной жесткости (рис. 38а).

Решение: строим эпюру изги­бающих моментов для действитель­ного состояния балки (рис. 38б). Выбираем фиктивное состояние балки с единичной силой в точке приложения нагрузки и строим от нее эпюру изгибающих моментов (рис.38в). Определяем верти­кальное перемещение по правилу Верещагина. Поскольку обе эпю­ры прямолинейны и их границы совпадают, площадь эпюры и ор­динату можно брать из любой эпюры.

Площадь грузовой эпюры:

Центр тяжести этой эпюры на­ходится в расстоянии от за­делки.

Ордината эпюры моментов от единичной нагрузки, расположенная под центром тяжести грузовой эпюры равна , поэтому:

Результат перемещения эпюр положителен, поскольку обе эпюры расположены по одну сторону от оси балки.

Величину угла поворота сечения определим, выбрав фиктивное состояние бал­ки, при котором на ее конце действует сосредоточенная пара сил с моментом, равным единице, и строим для этого случая эпюру изгибающих моментов (рис. 38г).

Перемножая эпюру ω на эпюру от единичного момента, получим угол по­
ворота концевого сечения консоли:

Так же, как и в первом случае, обе эпюры расположены по одну сторону оси балки, следовательно, результат перемножения эпюр положителен, т.е. концевое сечение балки поворачивается по направлению единичного момента.