Кручение с изгибом

Рассмотрим случай одновременного кручения и изгиба вала (рис. 42). Приме­нив метод сечений, найдем, что в попереч­ных сечениях вала од­новременно возникают крутящий М_к и изгибаю­щий М_x моменты. Выделив из бруса около точки "В" элементар­ный кубик и рассмотрев его равновесие, найдем, что по четырем ею граням возникают касательные напряжения, а по двум из них - еще и нормальные напряжения (рис. 42б). Следовательно, кубик находится в плос­ком напряженном состоянии.

Таким образом, в каждой точке поперечного сечения бруса одновременно воз­никают:

1) максимальные нормальные напряжения от изгиба:

;

2) касательные напряжения от изгиба, которыми ввиду их незначительности пренебрегаем;

3) касательное напряжение от кручения, достигающее наибольшего значения во всех точках контура круглого сечения и, в том числе, в двух точках А и В (опасные точки), в которых имеем максимальное значение. Приняв во внимание, что , можно написать:

Любое из получденных напряжений ( и ), взятое в отдельности, может оказаться меньшим соответствующего ему (по виду его деформации) допус­каемого напряжения, но одновременно их действие может быть опасным для бруса.

Главные напряжения определяются согласно формуле (11.6):

.

Подставив вместо σ и τ их значения, получим:

.

Вынеся за скобку , получим окончательную формулу для определе­ния главных напряжений при кручении с изгибом:

. (30.1)

Теперь можно составить условия прочности бруса круглого сечения для наи­более напряженной его точки на основании третьей и энергетической теорий проч­ности.

1. По третьей теории прочности: пользуясь формулой (30.1), можно написать:

,

или , (30.2)

где .

2. По энергетической (четвертой) теории прочности: (IV-й):

произведя необходимые подстановки и преобразования, получим:

, (30.3)

где .