Нормальные напряжения при изгибе

Слой волокон m-n, расположенный в середине высоты балки (рис. 29а) не меняет своей длины (не растягивается и не сжимается), а только искривляется. Такой сдой называется нейтральным слоем.

Волокна, лежащие дальше от нейтрального слоя, удлиняются или укорачивают­ся больше, чем волокна, расположенные ближе к нему. А из этого, согласно за­кону Гука, следует, что величина напряжений по высоте поперечного сечения из­меняется пропорционально удлинению волокон, т.е. напряжения нарастают с уда­лением от нейтрального слоя.

Следует заметить, что в данном случае нейтральный слой находится посере­дине высоты сечения потому, что балка имеет две оси симметрии. При другой форме поперечного сечения нейтральный слой может лежать ниже или выше середины сечения.

Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения балки называется нейтральной линией или осью. Она, как и нейтральный слой, проходит через центр тяжести сечения и перпендикулярна к плоскости симметрии балки, т.е. к плоскости действия сил.

Перейдем теперь к определению нормальных напряжений в поперечных сече­ниях балки при чистом изгибе.

Пусть к балке АВ приложены две равные сосредоточенные силы Р на одина­ковом расстоянии от опор (рис. 30). Как видно из эпюры Q, средний участок балки СD испытывает деформацию чистого изгиба, так как поперечная сила во всех поперечных сечениях балки на этом участке равна нулю.

Двумя поперечными сечениями 1-1 и 2-2 вырежем из балки этого участка элемент длиной dz и представим его в более крупном масштабе (рис. 29а). После изгиба торцы балки несколько наклонятся, образуя угол dθ. Обозначим ра­диус кривизны изогнутой оси бал­ки ρ, а длину одного из про­дольных волокон, лежащих в ней­тральном слое, mn; так как эти волокна не изменяют своей длины при изгибе, можно написать:

Любое другое волокно выше или ниже нейтрального слоя изменит свою длину. Рассмотрим волокно m₁n₁, лежащее в растянутой зоне на расстоя­нии y от нейтрального слоя, и следовательно, удлиняющееся при изгибе.

Для определения величины удлинения его проведем через точку n линию, парал­лельную mm₁, до пересечения с волокном m₁n₁в точке n₂.Тогда можно считать m₁n₂= mn, а отрезок n₁n₂ будем принимать как абсолютное удли­нение волокна m₁n₂ или, что то же самое, волокна mn. Отрезок n₁n₂ можно принять за дугу круга радиуса y, тогда абсолютное удлинение , а относительное удлинение того же волокна m₁n₂ будет:

или, сокращая на dθ: , т.е. относительное удлинение волокна прямо пропорционально расстоянию от него до нейтральной линии (оси) балки.

Так как волокна балки при чистом изгибе испытывают только растяжение или сжатие, поэтому для определения нормального напряжения в рассматриваемом волок­не можно воспользоваться законом Гука: .

Подставив сюда выражение относительного удлинения произвольного волокна балки, получим величину напряжения в нем:

(21.1)

т.е. нормальные напряжения изменяются прямо пропорционально расстоянию от ней­тральной оси балки, а в точках, находящихся на самой нейтральной оси, они рав­ны нулю.

Теперь получим закон распределения нормальных напряжений по высоте попе­речного сечения балки при чистом изгибе в зависимости от величины изгибающего момента.

Для этого выделим на поперечном сечении (рис. 29б) произвольную элементар­ную площадку dF на расстоянии y от нейтральной оси. Величина элементарной силы, которая возникает на площадке:

.

Теперь рассмотрим равновесие левой отсеченной части балки, заменив от­брошенную часть силами, для чего напишем уравнения равновесия:

;

Уравнение равновесия обращается в тождество вида 0=0. Сумма проекций всех элементарных сил на ось Z будет выражена интегралом, рас­пространенным на всю площадь сечения, т.е.

Величина модуля упругости E не равна нулю, а радиус кривизны ρ -величина конечная, т.е. ; , следовательно:

.

Полученный интеграл представляет собой статический момент площади се­чения относительно нейтральной оси. Отсюда следует, что нейтральная ось про­ходит через центр тяжести поперечного сечения, потому что только в этом слу­чае статический момент равен нулю.

Элементарная нормальная сила равна , ее момент относительно
нейтральной оси . Чтобы определить полный момент, необходимо суммировать элементарные моменты, распространив сумму на всю площадь поперечного сечения балки, т.е.

,

или, заменив σ равным ему выражением , получим:

.

В полученном выражении интеграл является моментом инерции сечения отно­сительно нейтральной оси, т.е. .

Следовательно, можно написать: , или (21.2)

где ρ- кривизна изогнутой оси балки; произведение называется жест­костью сечении балки или жесткостью сечения при изгибе. Оно характеризует сте­пень сопротивляемости балки искривлению оси при изгибе.

Полученное равенство (21.2) читается так: кривизна изогнутой оси балки прямо пропорциональна изгибающему моменту и обратно пропорциональна жесткости сечения балки.

Подставив это выражение (21.2) в формулу (21.1) получим:

окончательно (21.3)

Полученная формула справедлива для любой формы поперечного сечения, но при условии, если сечение имеет ось симметрии, в плоскости которой действуют изгибающие балку пары сил.

Формула (21.3) является уравнением прямой, следовательно, нормальные на­пряжения по высоте сечения изменяются по закону прямой. Наибольшие напряжения будут в наиболее удаленных от нейтральной оси волокнах.

Величина называется моментом сопротивления сечения и яв­ляется геометрической характеристикой прочности поперечного сечения балки.

Подставив в последнее выражение вместо величину момента со­противления W_x получим окончательную формулу для σ_max:

(21.4)

Момент сопротивления измеряют в м³, см³.

Формула (21.6) выведена для случая чистого изгиба, при котором попереч­ные сечения балки остаются плоскими и после деформации. В случае поперечного изгиба сечения испытывают сдвиг, обусловленный наличием в них поперечной силы, и искривляются. Значит, в этом случае допущения, положенные в основу вывода формулы (21.3), окажутся несправедливыми. Однако, искривление сечений и надав­ливание волокон друг на друга настолько незначительны, что они не меняют су­щественно установленного выше закона распределения деформаций волокон. Поэто­му формула (21.4) может быть применима и для случая плоского поперечного из­гиба балки.

Выведем формулы моментов сопротивления для элементарных плоских се­чений.

Прямоугольник со сторонами b и h (см. рис. 31а)

(21.5)

(21.6)

Квадрат со стороной а (см. рис. 31б):

(21.7)

Круг (см. рис. 31в):

(21.8)

Круговое кольцо (см. рис. 31г):

(21.9)

Если зададимся отношением диаметров или , то получим:

(21.10)