Поперечная сила Q и изгибающий момент М. Правила знаков Q и M

Пусть балка АВ, свободно лежащая на двух опорах, находится под действием двух сил P₁ и P₂, расположенных в плоскости ее симметрии (рис. 25а). Отбросив опоры и заменив их опорными реакциями R_A и R_B, будем рассматривать балку как нахо­дящуюся под действием внешних сил P₁, P₂, R_A и R_B. Эти силы вызывают в сечениях балки внутренние силы упругости, ко­торые определим при помощи метода сечений.

Сечением I-I на расстоянии z от левой опоры рассечем балку на две части и, отбросив правую часть, рассмотрим усло­вия равновесия оставшейся час­ти (рис. 25б). Очевидно, что оставшаяся часть балки будет находиться в равновесии под действием внешних сил R_A, P₁ и внутренних сил по сече­нию I-I, эквивалентных действию отброшенной части балки на ос­тавшуюся. По условию равнове­сия внутренние силы в рассматри­ваемом, сечении обеих частей балки будут численно равны, но противоположны по направлению.

Заменим действие отброшенной правой части на оставшуюся внутренними си­лами, равнодействующая которых должна быть расположена в плоскости действия внешних сил R_A и P₁. Обозначив проекцию этой равнодействующей на ось у через Q_y, а ее момент относительно центра тяжести рассматриваемого сече­ния 0-Z через М_х, составим уравнения равновесия и (так как силы R_A и P₁ перпендикулярны к оси Z, уравнение равновесия обращается в тождество вида 0=0).

; ,

откуда ; .

Таким образом, внутренние силы в рассматриваемом сечении оказались приве­денными к силе Q_y и паре сил с моментом M_x.

Проекция равнодействующей внутренних сил в сечении на ось, перпендикуляр­ную к оси балки, называется поперечной силой в рассматриваемом сечения и обозначается Q_y или Q _..

Момент равнодействующей внутренних сил относительно центра тяжести рас­сматриваемого сечения называется изгибающим моментом и обозначается М_x или М.

Из равновесия правой части балки (рис. 25б) можно заключить, что попереч­ная сила Q_y изгибающий момент М_х в сечении будут иметь те жезначения, что и для левой части, но направления их будут противоположны.

Поперечная сила в рассматриваемом сечении балки численно равна алгебраи­ческой сумме проекций всех сил, действующих по одну сторону сечения на ось, перпендикулярную к оси балки.

Изгибающий момент в рассматриваемом сечении балки численно равен алгебраи­ческой сумме моментов всех внешних сил, действующих по одну сторону сечения, относительно его центра тяжести.

Чтобы получить в одном и том же сечения балки один и тот же знак для по­
перечной силы или изгибающего момента независимо от того, какая часть балки (левая или правая) рассматривается при вычислениях, приняты следующие правила знаков:

1) поперечная сила в любом сечении считается положительной, если равно­действующая левых внешних сил направлена снизу вверх, а правых - сверху вниз (рис. 26а). В противном случае, поперечная сила будет отрицательной (рис. 26б);

2) изгибающий момент в любом сечении балки, например, в сечении а-в (рис.26в) считается положительным, если результирующий момент от действия всех, левых внешних сил направлен по часовой стрелке, а от правых внешних сил - против часовой стрелки; в противном случае (рис. 26г), изгибающий момент считается отрицательным.

На основании рис. 26 можно получить наиболее простое правило знаков для изгибающих моментов, связанное с характером деформации балки, а именно: изгибающий момент положителен, если балка изгибается выпуклостью вниз; если же балка изгибается выпуклостью вверх, изгибающий момент отрицателен.

§ 19. Зависимости между изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью распределенной нагрузки (теорема Д. И. Журавского)

Если изгибаемая балка находится в равновесии, то и любой элемент, мыс­ленно вырезанный из нее, должен также находиться в равновесии.

Предположим, что из балки АВ, находящейся под действием произвольной нагрузки, вырезан элемент бесконечно малой длины dz (рис. 27а). Нагрузку на этот элемент, вследствие бесконечно малой его длины, можно считать рав­номерно распределенной интенсивностью q (рис. 27б).

Действие левой части балки на элемент заменим поперечной силой Q и изгибающим моментом М. Так как на этот элемент действует только равномерно распределенная нагрузка, то на участке dzпоперечная сила Q и изгибающий момент М являются непрерывными функциями от z. Следовательно, в сечении на расстоянии (z+dz) поперечная сила и изгибающий момент получат беско­нечно малые приращения и будут соответственно равны: (Q+dQ), (M+dM). Составим уравнение равновесия сил, действующих на элемент:

откуда получим: , (19.1)

Действие левой части балки на элемент заменим поперечной силой Q и изгибающим моментом М. Так как на этот элемент действует только равномерно распределенная нагрузка, то на участке dzпоперечная сила Q и изгибающий момент М являются непрерывными функциями от z. Следовательно, в сечении на расстоянии (z+dz) поперечная сила и изгибающий момент получат беско­нечно малые приращения и будут соответственно равны: (Q+dQ), (M+dM). Составим уравнение равновесия сил, действующих на элемент:

откуда получим: , (19.1)

т.е. производная от поперечной силы по абсциссе сечения равна интенсивности сплошной нагрузки в том же сечении.

Теперь составим уравнение моментов всех сил относительно центра тяжести правого сечения элемента (точки C):

или ,

откуда, пренебрегая малой величиной второго порядка, получим:

, (19.2)

т.е. производная от изгибающего момента по абсциссе сечения равна поперечной сила в том же сечении.

Из предыдущих формул получаем зависимость:

(19.3)

Полученные дифференциальные зависимости между изгибающим моментом М, поперечной силой Q и интенсивностью нагрузки q, называются теоремой Д. И. Журавского.