Главные оси инерции и главные центральные моменты

инерции (вывод формул)

Величины моментов инерции , и относительно повернутых осей зависят от угла α.

Практически очень важно знать такое положение осей X₁ У₁, при котором осевые моменты инерции , будут иметь экстремальное значение, т.е. один из них будет иметь наибольшее, а другой - наименьшее значение.

Если у сечения ось симметрии принята за ось X или ось У, то центробеж­ный момент инерции равен нулю, так как в этом случае каждому элементу dF с положительным У соответствует равный и симметрично расположенный элемент dF’ с отрицательным У. Элементарные произведения взаимно уничтожаются и интеграл обращается в нуль.

Покажем, что для любой точки произвольного плоского сечения можно найти такие две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых центробежный мо­мент инерции будет равен нулю. Пусть для произвольного сечения координатные оси X и У повернуты против движения часовой стрелки вокруг начала координат на 90° и заняли положение X¹ и У¹ (рис. 18).

Если теперь выразить новые координаты через старые, получим: ;

Тогда центробежный момент инерции относи­тельно новых осей:

т.е. получается, что при повороте координатных осей на 90°, центробежный момент инерции меняет знак. Поэтому всегда будет и такое положение осей, о^тносительно которых величина центробеж­ного момента инерции равна нулю.

Оси, относительно которых центробежный момент инерции плоского сече­ния равен пулю, называют главными осями инерции. Если начало координат сов­падает с центром тяжести сечения, то соответствующие главные оси называются главными центральными осями инерции, а моменты инерции относительно главных осей называются главными центральными моментами инерции.

Главные моменты инерции имеют предельные (экстремальные) значения: один из них , а другой - .

Оси симметрии любого сечения являются главными осями инерции. У таких сечений, как тавр, швеллер и т.д., ось симметрии является главной осью инерции. Другой главной центральной осью инерции будет перпендикулярная к ней ось, проходящая через центр тяжести сечения.

Чтобы определить положение главных осей сечения, не имеющего осей сим­метрии, необходимо найти величину угла, на который нужно повернуть первона­чальные оси. Выведем формулу для определения этого угла. Положим, что нам из­вестны моменты инерции , , какого-либо сечения относительно произ­вольных осей X и У. Центробежный момент инерции сечения относительно других координатных осей Х₁ и У₁ с тем же началом координат, но повернутых относи­тельно осей X и У на уголα, получим по формуле (14.6):

Для определения угла, на который нужно повернуть первоначальные оси, что­бы сделать их главными, необходимо приравнять к нулю центробежный момент инерции :

откуда . (15.1)

Подставив в полученную формулу (15.1) значения , , , най­дем для угла 2 αдва значения, отличающихся на 180°; сами же углы будут от­личаться друг от друга на 90°. Поэтому главные оси будут перпендикулярны друг к другу.

Если при известных , , величины , ,

в формулах (14.4) и (14.5) выразить через , определяемый по формуле (15.1), то получим следующую формулу для определения главных моментов инерции:

, (15.2)

или . (15.3)