Общие сведения. Частотные характеристики широко используются при анализе и синтезе систем автоматического управления и применяются для оценки динамических свойств отдельных

Частотные характеристики широко используются при анализе и синтезе систем автоматического управления и применяются для оценки динамических свойств отдельных звеньев и систем.

По своей сути частотные характеристики показывают реакцию звена на гармонический входной сигнал в установившемся режиме при изменении частоты от нуля до бесконечности.

Частотные характеристики звена (системы) можно получить аналитическим путём или экспериментально на самом звене (системе) или с применением метода структурного моделирования.

Можно строго математически показать, что если на линейное звено подать гармоническое входное воздействие вида

X_вх = A_вх Sinwt,

то в установившемся режиме реакцией звена всегда будет также синусоидальная функция той же частоты w, но, в общем случае, с другой амплитудой А_вых и со сдвигом по фазе j относительно входного воздействия

X_вых = А_вых Sin (wt + j).

В области положительных частот представим гармонические входной и выходной сигналы в комплексной форме и введём, по аналогии с передаточной функцией, понятие комплексного коэффициента передачи (комплексной передаточной функции) W (jw). В этом случае блок-схема звена примет вид, изображённый на рис. 2.1.

Дадим формулировку комплексного коэффициента передачи.

Комплексным коэффициентом передачи называется отношение комплексной выходной величины к комплексной входной величине при нулевых начальных условиях.

Из формулировки следует, что

.

Здесь – функция частоты, которая показывает, во сколько раз увеличивается или уменьшается амплитуда гармонического сигнала на выходе по сравнению с амплитудой на входе. Характеристика, построенная по А(w) приизменении частоты от нуля до бесконечности, называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ),

j(w) – функция, показывающая, как изменяется сдвиг по фазе выходного синусоидального сигнала по отношению к входному синусоидальному сигналу при изменении частоты. График, построенный по j(w) в диапазоне частот от 0 до ¥,называется фазочастотной характеристикой (ФЧХ).

Характеристика, построенная по выражению W (jw), называется амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ).

Комплексный коэффициент передачи можно представить геометрической суммой вещественной и мнимой составляющих:

W (jw) = P (w) + jQ (w).

График функции P (w) называется вещественной частотной характеристикой (ВЧХ), а функции Q (w) – мнимой частотной характеристикой (МЧХ).

Исходным аналитическим выражением для получения всех частотных характеристик является комплексный коэффициент передачи W (jw). Формально его очень просто можно найти по передаточной функции W (p) подстановкой р = jw.

Как функцию комплексного переменного, представим W (jw) в алгебраической и показательной форме записи:

W (jw) = P (w) + jQ (w) = A (w) .

Алгебраическая форма позволяет найти аналитические выражения для вещественной и мнимой частотных характеристик, а показательная для амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик.

Частотные характеристики алгебраической и показательной форм связаны между собой следующими соотношениями:

P (w) = A (w)×Sin (j(w)), Q (w= A (w)×Sin (j(w)).

Аналитические выражения для комплексного коэффициента передачи в алгебраической и показательной форме и амплитудно-фазовые частотные характеристики типовых звеньев, изучаемых в данной работе, приведены в табл. 2.1.

Экспериментально на реальном звене или его модели можно снять две частотные характеристики: амплитудно-частотную A(w) и фазочастотную j(w). Для этого необходимо на вход звена включить генератор гармонического сигнала (ГГС), позволяющего изменять частоту в достаточно широком диапазоне.

Блок-схема для экспериментального снятия частотных характеристик А(w) и j(w) приведена на рис.2.1.

Таблица 2.1

Наименование звена	Комплексный коэффициент передачи	Амплитудно-частотная характеристика
Апериоди- ческое
Колебатель- ное
Реальное дифференци- рующее

В эксперименте с реальным звеном для снятия частотных характеристик следует задаться рядом значений частот и в установившемся режиме для каждой частоты замерить А_вых, А_вх и j. Ординаты амплитудо-частотной характеристики на каждой частоте рассчитываются по формуле:

.

Этот расчет можно исключить, если в эксперименте удаётся взять А_вх = 1. Тогда А (w) будет численно равна А_вых.

В модельном эксперименте для определения значений А (w) и j(w) при фиксированном значении частоты необходимо в установившемся режиме вывести на экран монитора компьютера одновременно синусоидальные входной (с амплитудой равной 1) и выходной сигналы и средствами соответствующей программы замерить значения А (w) = А_вых и j(w).

Полученные экспериментальные данные целесообразно свести в табл. 2.2.

Таблица 2.2

w

wср =

¥

Тк

А(w)

j(w)

В таблице: Т_к = 2p/w – период колебаний. Строка нужна в том случае, если в прикладной программе частота задаётся периодом колебаний (например, в программе «КОМПАС»), w_ср = 1/Т – частота сопряжения типового звена (для колебательного звена w_ср = 1/Т₁).

Количество и значения частот, при которых снимаются частотные характеристики, выбирает студент при подготовке основы отчёта по данной лабораторной работе.

Здесь можно сделать следующие рекомендации:

· начальные и конечные значения А (w) и j(w) при w = 0 и w = ¥ экспериментально определить невозможно. Поэтому их следует рассчитать аналитически (по формулам) и включить в таблицу при домашней подготовке отчёта;

· в число частот обязательно следует включать частоту сопряжения. Теоретически известно, что при частоте сопряжения сдвиг по фазе равен половине предельного (при w = ¥). Если начать снятие частотных характеристик с частоты сопряжения, то можно сразу же проверить достоверность получаемых результатов по значению j(w_ср);

· так как зависимости А (w) и j(w) нелинейные, то задаваться равномерной шкалой частот не следует. Желательно, чтобы точки характеристики j(w) отстояли друг от друга для апериодического и реального дифференцирующего звеньев ориенировачно на 10…13_, а для колебательного на 15…18 градусов;

· в эксперименте частоту достаточно изменять в диапазоне от 0.1 w_ср до 10 w_ср.