Общие сведения. Одной из важнейших динамических характеристик системы автоматического управления является её устойчивость

Одной из важнейших динамических характеристик системы автоматического управления является её устойчивость.

Под устойчивостью понимается свойство системы возвращаться к исходному состоянию равновесия или заданному закону движения после прекращения (снятия) воздействия, отклонившего систему от предписанного ей движения.

Неустойчивая система не возвращается к предписанному режиму работы, а непрерывно от него удаляется или совершает около него возрастающие колебания. Очевидно, что такая система не может выполнять возложенные на неё функции – она оказывается неработоспособной.

Помимо устойчивого (неустойчивого) режима в линейной САУ возможны ещё два режима движения: граница устойчивости и нейтральная устойчивость. Граница устойчивости – это переход от устойчивости к неустойчивости или наоборот. В этом режиме в системе возникают незатухающие колебания относительно заданного движения. Такая система также является неработоспособной. Нейтральная устойчивость – это режим, когда отклонения от предписанного движения стремятся к постоянной величине, зависящей от начальных условий (в устойчивой системе отклонения стремятся к нулю). Нейтральную устойчивость следует рассматривать, как особую устойчивость системы управления.

Математическим описанием линейной системы, когда к ней приложено какое-либо входное воздействие, является, в общем виде, линейное дифференциальное уравнение n -го порядка:

= , (3.1)

где X_вых – управляемая (выходная) величина, X_вх – входное воздействие.

Переходный процесс в системе можно найти, решив уравнение (3.1). Решение имеет вид:

X_вых (t) = X_{вых. вын} (t) + X_{вых. св.}(t), (3.2)

где X_{вых. вын} (t) – вынужденная составляющая переходного процесса, зависящая от свойств системы и вида входного воздействия. При постоянном входном воздействии вынужденная составляющая также будет постоянной.

X_{вых. св.}(t) – свободнаясоставляющая переходного процесса. Она зависит от свойств системы и начальных условий.

Свободная составляющая – это решение уравнения (3.1), когда правая часть равна нулю или, иными словами, когда снято входное воздействие. А это значит, что однородное уравнение

0 (3.3)

является математическим описанием устойчивости системы, а вид свободной составляющей определяет характер движения САУ после снятия воздействия.

Если при бесконечном возрастании времени (t) Х_{вых. св.}(t) стремится к нулю, то САУ устойчивая, если Х_{вых. св.}(t) стремится к бесконечности или бесконечно возрастают колебания свободной составляющей, то САУ неустойчивая.

Если же Х_{вых. св.}(t) совершает периодические незатухающие колебания, то система находится на границе устойчивости.

Наконец, если Х_{вых. св.}(t) стремится к постоянной составляющей, то такая система нейтрально устойчивая.

Аналитическое выражение для свободной составляющей можно найти, решив уравнение (3.3). Из теории дифференциальных уравнений известно, что решение однородного уравнения имеет вид:

Х_{вых. св.}(t) = , (3.4)

где – постоянные интегрирования, определяемые начальными условиями, p_i – корни характеристического уравнения, не равные друг другу.

Для уравнения (3.3) характеристическое уравнение имеет вид:

. (3.5)

Из решения (3.4) следует, что вид свободной составляющей зависит только от корней характеристического уравнения.

Если все корни будут иметь отрицательную действительную часть (сюда входят корни комплексные, сопряжённые с отрицательной действительной частью и отрицательные действительные), то свободная составляющая при t→0, будет также стремиться к нулю. Корни с положительной действительной частью вызывают бесконечное возрастание Х_{вых. св.}(t). Одна или несколько пар мнимых сопряжённых корней дают периодическую незатухающую слагаемую в свободной составляющей, а один или несколько нулевых корней дают постоянную слагаемую.

Также вид свободной составляющей зависит от корней кратных.

Сказанное позволяет сформулировать общие условия устойчивости линейных систем автоматического управления по корням характеристического уравнения.

Для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы действительная часть всех корней характеристического уравнения системы была отрицательной.

Если хотя бы один действительный корень или пара комплексных корней будут иметь положительную действительную часть, то система будет неустойчивой.

Если характеристическое уравнение имеет одну или несколько пар мнимых корней, а остальные с отрицательной действительной частью, то система находится на границе устойчивости.

При одном или нескольких нулевых корнях, а остальных с отрицательной действительной частью система будет нейтрально устойчивой.

Расчёт численных значений корней связан с известными трудностями, которые возрастают с увеличением степени характеристического уравнения. В то же время из общего условия следует, что для суждения об устойчивости систем достаточно иметь представление лишь о знаках действительных составляющих всех корней характеристического уравнения.

Методы, позволяющие по косвенным признакам определять знаки корней характеристического уравнения и делать однозначный вывод об устойчивости (неустойчивости) системы, называются критериями устойчивости. Они делятся на алгебраические и частотные. К алгебраическим относятся критерии Гурвица и Рауса, к частотным – критерии Михайлова и Найквиста. Для уравнений невысокого порядка (n ≤ 4) применяются алгебраические критерии. При n > 4 лучше пользоваться частотными критериями. Для одноконтурных САУ предпочтение следует отдавать критерию Найквиста в логарифмическом масштабе.

В расчетной практике, прежде чем пользоваться каким-либо вышеприведённым условием устойчивости, целесообразно проверить систему на выполнение так называемого необходимого условия устойчивости.

Необходимым условием устойчивости является однозначность или положительность (при а₀ > 0) всех коэффициентов характеристического уравнения.

Особенность необходимого условия устойчивости заключается в том, что если оно не выполняется, то система будет неустойчивой. Если же необходимое условие выполняется, то это ещё не говорит о том, что система устойчивая. Её следует проверить на выполнение необходимых и достаточных условий по общему условию устойчивости или по критериям устойчивости.

Для экспериментального исследования устойчивости САУ с успехом можно пользоваться методом структурного моделирования (прикладные программы «КОМПАС» или «MATLAB – SIMULINK»). Метод применим к любым САУ независимо от их сложности и порядка дифференциального уравнения.

При моделировании устойчивость системы определяется по виду переходной характеристики (реакции на единичное ступенчатое воздействие). В этом случае X_{вых. вын} (t) – величина постоянная, определяющая уровень установившегося режима (УУР). Если выходная величина с течением времени стремится к установившемуся режиму, то это значит, что свободная составляющая стремится к нулю. Следовательно, система устойчивая. Если выходная величина всё время уходит от УУР или совершает около него возрастающие колебания, то система неустойчивая. Границе устойчивости соответствуют периодические незатухающие колебания.

Примеры переходных характеристик САУ, иллюстрирующих: а) устойчивость, б) неустойчивость и в) границу устойчивости, приведены на рис. 3.1.

При исследовании на устойчивость, когда уже определена устойчивость или неустойчивость системы, очень часто возникает необходимость определения влияния параметров на её устойчивость.

Установить влияние того или иного параметра САУ на устойчивость можно аналитически с помощью критериев устойчивости или экспериментально путём моделирования системы. Любой метод исследования сводится к определению граничных (критических) значений интересующего параметра и построению областей устойчивости. Граничными называются численные значения параметров системы, при которых она находится на границе устойчивости. Областью устойчивости называется диапазон численных значений параметра, при которых САУ устойчивая или неустойчивая.

При аналитическом исследовании, для нахождения граничных значений параметра, необходимо по одному из вышеприведённых критериев записать условие нахождения системы на границе устойчивости через параметры системы, выразить в явном виде интересующий параметр и найти его численные значения. Все остальные параметры при этом должны иметь заданные значения. Граничные значения параметра позволяют построить области устойчивости (неустойчивости) при изменении параметра в заданном диапазоне или в теоретически возможном диапазоне от 0 до ∞.

На рис. 3.2 приведен пример области устойчивости системы для параметра k в диапазоне от 0 до ∞(k имеет одно граничное значение, причём при уменьшении k относительно граничного значениясистема устойчивая, а при увеличении неустойчивая).

САУ САУ