Общие сведения. Характер поведения системы автоматического управления (САУ) в переходном и установившемся режимах зависит от свойств звеньев

Характер поведения системы автоматического управления (САУ) в переходном и установившемся режимах зависит от свойств звеньев, из которых она состоит. Любой сложности линейная (линеаризованная) система всегда может быть представлена соединением так называемых типовых линейных звеньев. К таким звеньям относятся: безынерционное, интегрирующее, апериодическое, колебательное, идеальное дифференцирующее, реальное дифференцирующее и звенья дифференцирующие (форсирующие) первого и второго порядков.

Реальное дифференцирующее звено, по сути, представляет собой последовательное соединение идеального дифференцирующего и апериодического звеньев. Но так как оно достаточно часто встречается в системах управления, то его иногда рассматривают как самостоятельное типовое линейное звено.

К этой группе очень часто относят также звено чистого запаздывания. Само по себе это звено нельзя считать линейным, но к системам, имеющим в своём составе помимо типовых линейных звеньев звено запаздывания (система при этом называется особой линейной системой), с успехом применяются некоторые методы расчёта, предназначенные для линейных систем. Поэтому имеет смысл изучить его свойства в составе вышеприведённой группы звеньев.

Полную информацию о свойствах линейного типового звена в переходном и установившемся режимах можно получить из переходной характеристики.

Переходной характеристикой называется график переходного процесса на выходе звена при подаче на его вход единичного ступенчатого воздействия при нулевых начальных условиях.

Единичное ступенчатое воздействие – это такое воздействие, которое мгновенно возрастает от нуля до единицы и далее остаётся неизменным. Применение в данном случае единичного ступенчатого воздействия оправдано тем, что к линейным объектам применим принцип суперпозиции и наложения. Физически это означает следующее: если к линейному звену приложено несколько воздействий, то суммарный эффект от этих воздействий может быть определён как сумма эффектов от каждого из этих воздействий. Кроме того, единичное воздействие унифицирует расчеты и упрощает сравнение полученных результатов.

На рис.1.1 представлены: а) блочная схема типового звена, б) входное единичное ступенчатое воздействие.

Рис. 1.1

Переходную характеристику любого типового звена можно найти и построить по переходной функции (формуле), которая является решением дифференциального уравнения звена при единичном воздействии и нулевых начальных условиях, или методом структурного моделирования.

В табл. 1.1 приведены дифференциальные уравнения, переходные функции и переходные характеристики типовых линейных звеньев, изучаемые в настоящей работе. Параметры типовых звеньев имеют следующие обозначения:

k – коэффициент передачи,

T, T₁, T₂ – постоянные времени в секундах,

t – время запаздывания в секундах,

A = – коэффициент демпфирования колебательного звена,

a и b – действительная и мнимая части корней характеристического уравнения колебательного звена при А < 2,

и j₀ = – амплитуда и фаза, соответствующие нулевым начальным условиям в решении дифференциального уравнения колебательного звена при А < 2,

a_и – угол наклона переходной характеристики интегрирующего звена,

УУР – уровень установившегося режима

Обратим внимание, что дифференциальное уравнение колебательного звена может иметь и другую форму записи, эквивалентную той, что приведена в табл. 1.1:

.

Параметры этого уравнения связаны с табличными следующими соотношениями:

T = T₁, x = T₂ / 2T₁ = 0.5 А.

Здесь x – коэффициент демпфирования для второй формы записи дифференциального уравнения колебательного звена.

Кроме того, у колебательного звена при коэффициенте демпфирования А ³ 2 или x ³ 1 переходная характеристика будет иметь другой вид – монотонный (без колебаний), так как в этом случае корни характеристического уравнения становятся отрицательными действительными.

При фиксированных значениях параметров типовых звеньев по переходной функции можно легко найти начальные – Х_вых (0) и конечные – Х_вых (¥) значения выходной величины, а по переходной характеристике увидеть, что каждому звену соответствует определённый характерный для него вид переходного процесса при одном и том же единичном входном воздействии – Х_вх = 1(t).

Более глубокие исследования динамических свойств при изменении параметров типовых звеньев связаны с многократными построениями переходных характеристик, что представляет собой довольно трудоёмкую процедуру.

Удобным и наглядным в таком случае оказывается метод структурного моделирования с применением персональных компьютеров.

Для моделирования типового звена достаточно по исходным данным (структурной схеме и численным значениям параметров) составить схему модели и ввести её в прикладную программу («Компас V6» или «MatLab 6.0 - SIMULINK»).

Передаточные функции и структурные схемы изучаемых типовых звеньев приведены в табл. 1.2. Численные значения параметров будут заданы в программе работы.

В методе структурного моделирования решение дифференциального уравнения и вывод переходных характеристик на экран монитора выполняет соответствующая прикладная программа.

При изменении какого-либо параметра звена изменяется его переходная характеристика, а следовательно, и свойства исследуемого звена. Для удобства сравнения свойств типовых звеньев при вариации параметров, а также при охвате звена обратной связью в ТАУ принято оценивать переходные характеристики следующими параметрами:

· в установившемся режиме – уровнем установившегося режима (Х_вых (¥));

· в переходном режиме – быстродействием в секундах (T_рег), максимальным отклонением выходной величины от уровня установившегося режима в процентах (s_max%), количеством колебаний (к_кол).

Примечание. Аналогичный параметр применительно к системам автоматического управления (регулирования) в ТАУ называется временем регулирования и обозначается T_рег. Здесь использовано это обозначение.

Под быстродействием понимается время, за которое переходная характеристика входит в пятипроцентную зону ( 5% от уровня установившегося режима) и более из неё не выходит.

Наименоваие звена	Передаточная функция	Структурная схема
Интегриующее
Апериодическое
Колеба­ тельное
Реальное дифферен­ цирующее
Звено запаздывания	W (p)=e-tp

Таблица 1.2

Чем меньше T_рег, тем больше быстродействие и наоборот.

Максимальное отклонение в процентах определяется по следующей формуле:

s_max% %.

Количество колебаний – это количество отклонений переходной характеристики от уровня установившегося режима за время T_рег.

На рис.1.2 показано, как определяются параметры переходной характеристики.

Рис. 1.2

Теоретически переходная характеристика достигает установившегося значения за время, равное бесконечности. При моделировании за уровень установившегося режима можно принять выходную величину, если она практически не изменяется при увеличении времени моделирования.

Забегая вперёд, отметим, что такими же параметрами оцениваются свойства САУ в установившемся и переходном режимах по её переходной характеристике.

При исследовании свойств типовых звеньев методом структурного моделирования все приведённые выше параметры переходных характеристик можно достаточно просто измерить непосредственно на экране монитора специально предусмотренными для этого программными или машинными средствами. Например, в программе «Компас V6» имеются вертикальная и горизонтальная измерительные линейки.

При выполнении программы лабораторной работы, в обязательном порядке, нужно регистрировать параметры переходных характеристик. Это позволит сделать обоснованные выводы о свойствах исследуемых звеньев.

Охват типовых звеньев отрицательной связью приводит к изменению вида звена или к изменению его параметров. Аналитически это можно показать по тому, как изменится передаточная функция звена при охвате обратной связью, используя правила преобразования структурных схем.

Если охватить интегрирующее звено отрицательной обратной связью (рис. 1.3), то эквивалентная этому соединению передаточная функция будет иметь следующий вид:

.

Приведём полученную передаточную функцию к виду типового звена. Для этого разделим числитель и знаменатель на k*k_oc:

Из этого выражения следует, что интегрирующее звено, охваченное отрицательной обратной связью, эквивалентно апериодическому звену с коэффициентом передачи k _экв =1/ k _ocи постоянной времени T _экв = 1/ k*k _oc.

Если охватить апериодическое или колебательное звено отрицательной обратной связью, то изменяются их параметры. Например, для апериодического звена с отрицательной обратной связью (рис.1.4) передаточная функция имеет вид:

Рис. 1.4

.

Здесь

.

Вид эквивалентной передаточной функции не изменился, значит, эквивалентное звено осталось апериодическим. Но изменились его параметры – коэффициент передачи и постоянная времени.

Аналогично можно найти эквивалентные параметры колебательного звена, охваченного отрицательной обратной связью.

Охват типовых звеньев положительной связью может приводить к изменению вида звена, изменению его параметров, а также к неустойчивости звена.

Если охватить положительной обратной связью интегрирующее звено (рис.1.5), то получим следующую передаточную функцию:

.

Такой передаточной функции соответствует эквивалентное неустойчивое звено, так как при любом значении k _oc характеристическое уравнение p – k*k _oc = 0 будет иметь положительный корень.

На апериодическое и колебательное звенья положительная обратная связь оказывает разное влияние, зависящее от произведения k*k _oc:

при k*k _oc > 1 звенья становятся неустойчивыми,

если k*k _oc = 1, то изменяется вид звеньев;

при k*k _oc < 1 изменяются их параметры, а следовательно, и свойства в переходном и установившемся режимах.

При исследовании типовых звеньев методом структурного моделирования влияние обратных связей можно установить по виду переходных характеристик, выводимых на экран монитора, а оценку свойств эквивалентных звеньев сделать по параметрам переходных характеристик.