Абсолютная и условная сходимость. Достаточный признак сходимости знакопеременных рядов

Условную и абсолютную сходимости различают для рядов вида

Определение: Знакочередующийся ряд называют абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных значений членов данного ряда.

Если данный ряд по признаку Лейбница сходится, но ряд из абсолютных величин его членов расходится, то исходный ряд называют условно сходящимся.

Достаточным признаком сх-ти таких рядов является Признак Лейбница

Теорема Лейбница.

Если =0 (1) и u_n u_n+1>0, n=1,2,…,(2) то знакочередующийся ряд (3) сходится.

Доказательство:

Рассмотрим частичные суммы четного порядка ряда (3):

S_2k= .Их можно записать в виде S_2k=(u₁-u₂)+(u₃-u₄)+…+(u_2k-1-u_2k), k=1,2,…

В силу условия (2) выражения в круглых скобках неотрицательны и потому S_2k S_2(k+1), т.е. последовательность частичных сумм четного порядка ряда (3) монотонно возрастает.

Замечая, что частичные суммы S_2k можно записать также и в виде

S_2k=u₁-(u₂-u₃)-…-(u_2k-2-u_2k-1)-u_2k, k=1,2,…, и что выражения в круглых скобках в силу условия (2) неотрицательны, а u_2k>0, получаем, что S_2k<u­₁, т.е. последовательность {S_2k} ограничена сверху.

Из монотонного возрастания и ограниченности сверху последовательности {S_2k} следует, что она сходится.

Пусть =S (4). Покажем, что и частичные суммы нечетного порядка ряда (3) стремятся к тому же пределу. Действительно, S_2k+1=S_2k+u_2k+1, k=1,2…(5), и так как, согласно (1), , то в силу (4) и (5) имеем (6). Из (4) и (6) следует что .