Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости

Функциональные ряды вида , где a_n, z, z₀ – комплексные числа, называются степенными рядами. Числа a_n, n=0,1,2…называются коэффициентами степенного ряда.

Т. Абеля. Если степенной ряд (1) сходится при z=z₀, то он сходится и при том абсолютно при любом z, у которого .

Доказательство. Пусть ряд (2) сходится, тогда его n-ый член стремиться к нулю при и поэтому последовательность

{ } ограничена, т.е. существует такая постоянная M>0, что , а n=0,1,2… В силу этого для n-го члена ряда (1) получается следующая оценка: . Если , то ряд , являясь геометрической прогрессией со знаменателем <1, сходится. Поэтому по признаку сравнения сходится и ряд , а это означает абсолютную сходимость ряда (1) при . Теорема доказана.

У всякого степенного ряда существует радиус сходимости R. В круге сходимости, т.е. при любом z, у которого , ряд сходится абсолютно. На любом круге , где r фиксировано и r<R, ряд сходится равномерно. Пусть R- радиус сходимости степенного ряда , тогда R = .