Радикальный признак Коши

Дан ряд ,если , то при

а) - ряд -сх-ся;

б) - ряд - расходится;

в) - о сходимости ничего нельзя сказать предполагается что предел

Доказательство:

(*)

1) cⁿ< 1, тогда найдём Ɛ > 0 | q= c+ Ɛ< 1

Тогда в (*) a_n < qⁿ v

По признаку сравнения из сходимости ряда , 0 < q < 1

ð сходится и

2) cⁿ> 1, тогда найдём Ɛ > 0 | c– Ɛ = q> 1

Тогда (*) из расходимости ряда , q > 1 => по теореме о сравнении, расходится и