Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Теорема о структуре общего решения ЛНДУ



ЛНДУ

у(n) + P1y(n-1) +…+ Pn-1 y’ + Pn y = f(x) (1) Pi – непрерывна на отрезке (a,b)

Теорема о структуре общего решения ЛНДУ

Общее решение ЛНДУ есть сумма частного решения и общего решения соответственного ему однородного уравнения

Док-во:

Для уравнения 2-го порядка (но теорема применима для уравнений любого порядка)

n=2

(1’) y” + P1(x) y’ + P2(x) y = f(x)

Обозначим у*(х) – частное решение ЛНДУ

(х) – общее решение ЛОДУ

Показать, что

(2) у= у*+ - общее решение ЛНДУ

Найдем:

Дважды дифференцируем функцию (2) и подставляем у, y’,y” в (1’)

у*”(x) + ”(x) + P1(x)[ у*(x)+ ’(x)] + P2(x)[ у*(x)+ (x)] =

= [у*”(x)+ P1(x) у*’(x)+ P2(x) у*(x)] + [ ”(x) + P1(x) ’ (x)+ P2(x) (x)] = f(x) + 0 = 0

= C1y1(x) + C2y2(x), y1,y2 – частное решение ЛОДУ y” + P1y’ + P2 = 0

C1C2 – подбираем так, чтобы они удовлетворяли начальным условиям

y(x0)=y0, y’(x0)=y0’, для любых х0 (а,в), и любых y0,y0

C1y1(x0) + C2y2(x0) + у*(x0) = y0

C1y’1(x0) + C2y’2(x0) + у*(x0) = y0

Линейная неоднородная система, определитель этой системы, определитель Вронского

W[y1, y2]≠0 =>система имеет единственное решение при любых 0 , 0 ,y*0,y*’0, это означает у= у*+ - общее решение ЛНДУ






Дата публикования: 2015-10-09; Прочитано: 3092 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.007 с)...