![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
ЛНДУ
у(n) + P1y(n-1) +…+ Pn-1 y’ + Pn y = f(x) (1) Pi – непрерывна на отрезке (a,b)
Теорема о структуре общего решения ЛНДУ
Общее решение ЛНДУ есть сумма частного решения и общего решения соответственного ему однородного уравнения
Док-во:
Для уравнения 2-го порядка (но теорема применима для уравнений любого порядка)
n=2
(1’) y” + P1(x) y’ + P2(x) y = f(x)
Обозначим у*(х) – частное решение ЛНДУ
(х) – общее решение ЛОДУ
Показать, что
(2) у= у*+ - общее решение ЛНДУ
Найдем:
Дважды дифференцируем функцию (2) и подставляем у, y’,y” в (1’)
у*”(x) + ”(x) + P1(x)[ у*(x)+
’(x)] + P2(x)[ у*(x)+
(x)] =
= [у*”(x)+ P1(x) у*’(x)+ P2(x) у*(x)] + [ ”(x) + P1(x)
’ (x)+ P2(x)
(x)] = f(x) + 0 = 0
= C1y1(x) + C2y2(x), y1,y2 – частное решение ЛОДУ y” + P1y’ + P2 = 0
C1C2 – подбираем так, чтобы они удовлетворяли начальным условиям
y(x0)=y0, y’(x0)=y0’, для любых х0 (а,в), и любых y0,y0’
C1y1(x0) + C2y2(x0) + у*(x0) = y0
C1y’1(x0) + C2y’2(x0) + у*(x0) = y0’
Линейная неоднородная система, определитель этой системы, определитель Вронского
W[y1, y2]≠0 =>система имеет единственное решение при любых 0 ,
’0 ,y*0,y*’0, это означает у= у*+
- общее решение ЛНДУ
Дата публикования: 2015-10-09; Прочитано: 3125 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!