Сравнение бесконечно малых функций

Определение1. Функция называется бесконечно малой при , если

Определение 2. Пусть и – две бесконечно малые при . Функции и называются:

a) бесконечно малыми одного порядка при , если ;

b) эквивалентными бесконечно малыми при , если .

В первом случае пишут при , во втором – ~ при .

Если , то говорят, что есть бесконечно малая более высокого порядка при , чем и пишут при .

Пример1. при , а при

Пример2. ~ при , а ~ при

Теорема 1(Свойства эквивалентных функций).

1) Если ~ при , то для любой функции из существования одного из пределов

вытекает существование второго и их равенство;

2) Если ~ при , то для любой функции из существования одного из пределов

вытекает существование второго и их равенство;

3) Если ~ при , , то

~ , ~ при .

Заметим, что из того, что ~ при , , не следует, что ~ при . Действительно, ~ при , ~ при , а эквивалентным при уже не будут.

Определение3. Функция называется бесконечно большой при , если

Пример3. Положим . Очевидно последовательность бесконечно большая, но при этом предела у нее нет.

Теорема 3. Если - бесконечно большая при , то есть бесконечно малая при . Обратно, если - бесконечно малая при и

для всех достаточно близких к и отличных от , то есть бесконечно большая при .