Таким образом, функции

непрерывны в каждой точке своей области определения.

Предложение 1. Функция непрерывна в каждой точке своей области определения.

Доказательство: Будем считать для определенности, что . Для подберем и положим . Очевидно Так как то Поэтому . Таким образом, в промежутке выполняется неравенство что и доказывает непрерывность функции в точке

Пусть теперь – произвольное положительное число, Тогда

Так как интервал включает в себя некоторый интервал , то это доказывает непрерывность функции в точке

Используя второй замечательный предел, непрерывность функция и теорему о пределесложной функции, можно доказать, что:

Теорема 1. Пусть непрерывны в точке Тогда также непрерывны в точке Если то и непрерывна в точке

Теорема 2. Пусть Если непрерывна в в точке а непрерывна в точке то сложная функция непрерывна в точке .