Предел монотонной функции

Определение 1. Говорят, что функция ограниченасверху (снизу) на множестве если найдется такое, что для любого

Теорема 1. Пусть – неубывающая (невозрастающая) функция, заданная на множестве , –предельная точка множества E, такая, что для любого . Тогда . Если функция ограничена сверху (снизу) на множестве то этот предел конечен.

Теорема 2. Пусть – неубывающая (невозрастающая) функция, заданная на множестве , –предельная точка множества E, такая, что для любого . Тогда . Если функция ограничена снизу (сверху) на множестве то этот предел конечен.

12)Число e.

Рассмотрим последовательность чисел

Имеем

откуда

Тогда

Таким образом, для любого . Оценим сверху , заменяя на 1. Учитывая, что для ≥ 2, имеем

Согласно теореме о пределе монотонной функции существует конечный предел последовательности . Его обозначают через . Таким образом,

.