Приклад 3. Нехай і не колінеарні вектори

Нехай і не колінеарні вектори. Довести, що вектори , і лінійно залежні. Знайти коефіцієнти лінійної залежності.

Розв'язання: Вектори , , лінійно залежні, якщо , а серед коефіцієнтів α, β, γ є відмінні від нуля.

Перевіримо (підставимо в останню рівність розклади векторів , і за векторами і ): .

.

Так як і не колінеарні, то вони лінійно незалежні, отже, остання рівність можлива лише у випадку, коли коефіцієнти біля них рівнінулю:

Тому існує відмінна від нуля трійка дійсних чисел (-2γ, γ, γ), така, що .

Знайдемо конкретні коефіцієнти. Покладемо, наприклад γ = -1, тоді α =2, β = -1. Маємо: .

Базисом векторного простору називається така система векторів, яка:

1. задана в певному порядку;

2. лінійно незалежна;

3. будь-який вектор простору являється лінійною комбінацією цієї системи векторів.

Число елементів базису називається розмірністю даного векторного простору.

Базис системи колінеарних векторів складається тільки з одного вектора, отже, він одновимірний.

Лекція №3. Компланарні вектори. Розклад вектора за двома неколінеарними векторами. Розклад вектора за трьома некомпланарними векторами. Координати вектора.

Три вектора називаються компланарними, якщо вони лежать в одній площині, або паралельні до однієї площини.

Очевидно, що будь-які два вектора завжди компланарні, три вектора, два з яких колінеарні – компланарні.