Поняття векторного простору

Множина елементів довільної природи, на якій визначені дві бінарні операції – додавання та множення на дійсне число і при цьому виконуються властивості 1 - 4 додавання (див. § 2) та властивості 1 - 4 добутку елемента на дійсне число (див. § 3), називається векторним простором. (Операція бінарна, якщо в результаті її виконання кожним двом елементам розглядуваної множини ставиться у відповідність елемент цієї ж множини).

Підмножина векторного простору, яка сама є векторним простором, називається підпростором даного векторного простору.

Наприклад: усі вектори, які лежать на одній прямій (всі колінеарні вектори), утворюють векторний простір V₁, усі вектори площини утворюють векторний простір V₂, усі вектори простору утворюють векторний простір V₃, нуль-вектор утворює векторний простір, множина всіх многочленів від однієї змінної утворює векторний простір та ін.

Очевидно, що є підпростором в V₁, V₂ та V₃; V₁ – підпростір в V₂ та V₃; V₂ – підпростір в V₃.

У геометрії ми розглядатимемо векторні простори, де елементами є вектори – направлені відрізки прямої.