Теорема 3. Якщо частина даної системи векторів лінійно залежна , то і вся система лінійно залежна

Якщо частина даної системи векторів лінійно залежна, то і вся система лінійно залежна.

Доведення:

Нехай задана система векторів . За умовою теореми частина її векторів – лінійно залежна (s≤n). Отже, і α_і ≠ 0, i=1,…,s.

Розглянемо лінійну комбінацію:

Покладемо α_s+1=α_s+2=…=α_n=0, тоді

і α_і ≠ 0, i=1,…,s. Що й потрібно було довести.