Добуток вектора на число

Добутком вектора на дійсне число λ називається такий вектор , для якого виконуються умови:

1. | |=| λ | | | – довжина вектора ;

2. ↑↑ – коли λ >0;

3. ↑↓ – коли λ <0;

Властивості:

Для будь-яких дійсних чисел α і β та векторів , мають місце рівності:

1. 1· = ; (-1)· =- ;

2. α·( + )=α· +α· ;

3. (α+β)· =α· + β· ; Рис. 4

4. α·(β· )=(α·β)· .

Доведення:

1. Властивість випливає з означення добутку вектора на число.

2. (рис. 4).

(рис. 4).

Отже, ми отримали гомотетію з центром в точці О та коефіцієнтом α. При гомотетії паралелограм АСВО перейшов в паралелограм А¹С¹В¹О, діагональ ОС перейшла в ОС¹.

3. Справедливість третьої властивості випливає з того, що вектори α · і β · колінеарні. Їх додавання фактично зводиться до додавання чисел α ·| | і β ·| | та побудови вектора отриманої довжини, який колінеарний вектору .

4. Очевидно, що вектори α·(β· ) і (α·β)· співнаправлені, так як в обох випадках добуток чисел α і β має однаковий знак. Покажемо, що і модулі їх рівні. Дійсно, за означенням добутку вектора на число отримаємо: