Додавання і віднімання векторів. Властивості додавання

Із фізики відомо, що дія двох сил на матеріальну точку рівносильна дії однієї сили, яка визначається за правилом паралелограма. Згідно цього введемо поняття суми двох векторів:

Сумою двох векторів і

називається вектор , який є діагоналлю паралелограма, побудованого на векторах і (рис1).

. Так як , то Рис. 1

Правило додавання векторів, яке визначається цією формулою називається правилом трикутника.

Властивості додавання:

1. Для будь-яких векторів , і :

+( + )=( + )+ (асоціативний закон додавання).

Доведення: (рис.2).

+( + )= , Рис. 2

( + )+ = .

2. Для будь-яких векторів і : + = + (сума не залежить від порядку доданків); (комутативний закон додавання).

Доведення: + = (див. рис. 1),

+ =

3. Існує вектор, такий, що для будь-якого : + =

Доведення:

Нехай ; тоді за правилом трикутника : так як

4. Існує вектор , такий, що для будь-якого вектора :

+ =

Доведення:

Нехай ; тоді , отже, = (це вектор протилежний до ).

Різницею двох векторів - називають такий вектор , що

+ =

Різниця будь-яких векторів і завждиіснує і визначається однозначно, так як . Вектор існує і визначається однозначно, сума двох векторів і () існує і визначається однозначно. Рис. 3

Отже, щоб від вектора відняти вектор потрібно до вектора додати вектор (рис. З).

.

Маємо: (рис. З).