Расстояние точки от плоскости

Даны нормальное уравнение плоскости и точка . Требуется найти расстояние точки до плоскости 𝛼 (рис. 12).

Проведём через точку плоскость , уравнение которой в нормальной форме будет иметь вид:

,

где - расстояние плоскости от начала координат.

Условимся называть отклонением данной точки от данной плоскости число d, равное длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость, взятой со знаком +, если точка и начало координат лежат по разные стороны от данной плоскости, и со знаком -, если они лежат по одну сторону от плоскости; для точек, лежащих на плоскости, отклонение равно нулю. Ясно, что расстояние от данной точки до плоскости равно абсолютной величине отклонения.

Из рисунка 12 видно, что искомое расстояние , но из уравнения плоскости имеем:

,

следовательно,

(14)

Таким образом, чтобы вычислить расстояние точки от плоскости, нужно в левую часть нормального уравнения плоскости подставить координаты заданной точки и взять абсолютную величину полученного результата.