Общее уравнение плоскости

Теорема. Любая плоскость имеет своим уравнением в декартовых координатах уравнение вида , где - постоянные. И обратно, если постоянные не равны нулю одновременно, то существует плоскость, для которой уравнение является её уравнением (в декартовых координатах).

Доказательство. 1. Пусть - какая-нибудь точка плоскости и - ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости. Тогда, какова бы ни была точка плоскости векторы и перпендикулярны (рис. 5). Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения т.е. . Пусть координаты вектора . Так как вектор имеет координаты , то

или

.

Обозначив , получим . Первая часть теоремы доказана.

2. Пусть - какое-нибудь решение уравнения . Тогда, подставив вместо получим , откуда , и уравнение можно переписать в виде , или, в векторной форме . Отсюда следует, что все точки плоскости, проходящей через точку , перпендикулярно вектору , удовлетворяют уравнению и, следовательно, оно является уравнением этой плоскости.

Вектор , перпендикулярный плоскости, называется нормальным вектором плоскости.

Уравнение

(3)

называется общим уравнением плоскости. Коэффициенты при в этом уравнении представляют координаты её нормального вектора в базисе .