![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Углом между векторами
и
называется угол
, на который следует повернуть один из векторов, для того чтобы их направления совпали (рис.3).
Условимся в дальнейшем под углом между двумя векторами понимать угол , удовлетворяющий условию
.
Скалярным произведением векторов и
называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними и обозначается
или
, таким образом
(6)
Теорема 1. Для того, чтобы два вектора были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение равнялось нулю.
Доказательство. 1. Необходимость. Пусть векторы и
ортогональны, т.е.
. Тогда
, и согласно формуле (6) скалярное произведение
равно нулю.
2. Достаточность. Пусть . Если один из векторов является нулевым, то утверждение доказано, т.к. нулевой вектор имеет неопределенное направление и его можно считать ортогональным любому вектору. Если же
и
, то
и
. Тогда из формулы (6) и условия
следует, что
. Значит
, т.е. векторы
и
ортогональны.
Скалярное произведение обладает следующими свойствами:
1) ;
2) ;
3) Скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию второго вектора на первый, т.е.
;
4) ;
5)
Пусть даны два вектора, разложенные по базису :
.
Найдем
. Принимая во внимание, что базис ортонормированный, т.е.
, получим
. Таким образом, скалярное произведение двух векторов, заданных координатами равно сумме произведений одноименных координат, т.е.
(7).
Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов, заданных координатами является:
(8)
Из формулы (6) получим формулу для косинуса угла между векторами и
:
(9)
Дата публикования: 2015-09-17; Прочитано: 253 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!