Смешанное произведение трех векторов

Дана упорядоченная тройка ненулевых векторов . Если перемножить на векторно и полученный результат умножить на вектор скалярно, то получим число v, которое называется векторно-скалярным, или смешанным, произведением векторов и обозначается символом или ;

Смешанное произведение векторов обладает следующими свойствами:

1. Для того, чтобы выяснить геометрический смысл смешанного произведения, построим параллелепипед на векторах , приведя их к общему началу (рис.5). Обозначим ; длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и . Смешанное произведение равно , где , а высота параллелепипеда. Заметим, что получается , если угол острый, и , если угол тупой. Таким образом, установлено: смешанное произведение трех векторов численно равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , приведенных к общему началу, взятому со знаком «плюс», если образуют тройку векторов, одноименную с основной (т.е. правую), и со знаком «минус» в противном случае.

2. Смешанное произведение не меняется при круговой перестановке сомножителей , т.к. при этом получаются равновеликие параллелепипеды, ребра которых сохраняют взаимную ориентацию.

3. Смешанное произведение меняет знак при перестановке любых двух сомножителей, например, , т.к. при этом получаются равновеликие параллелепипеды, но ориентация ребер меняется.

Три вектора называются компланарными, если будучи приведенными к общему началу они лежат в одной плоскости.

4. Смешанное произведение трех векторов равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители компланарны.

Пусть вектора заданы своими проекциями на координатные оси:

Составим смешанное произведение . Для этого умножим на векторно:

Теперь найдем скалярное произведение вектора и , как сумма произведений одноименных координат:

Правую часть этого равенства можно рассматривать как разложение написанного ниже определителя по элементам последней строки. Поэтому имеем

Из геометрического смысла смешанного произведения следует, что векторы компланарны тогда и только тогда, когда равно нулю их смешанное произведение. Таким образом, заключаем, что условие

необходимо и достаточно для компланарности векторов .