Спряжені напрямки та спряжені діаметри

Пряма, яка паралельна до вектора , але не перпендикулярна до осі , утворює з її додатнім напрямком деякий кут , для якого . Середини паралельних до цієї прямої хорд утворюють пряму, яка, як нам відомо, задається рівнянням

.

Кутовий коефіцієнт даної прямої буде дорівнювати

.

Із останньої рівності отримуємо співвідношення

,

яке означає, що середини хорд, паралельних до прямої з кутовим коефіцієнтом , утворюють пряму, кутовий коефіцієнт якої дорівнює . Напрямки прямих, кутові коефіцієнти яких задовольняють умову

, (3)

називають спряженими напрямками лінії . У випадку, коли , тобто, коли знаменник у рівності (3) перетворюється в нуль, пряма із спряженим напрямком, очевидно, перпендикулярна до осі .

Якщо лінія центральна, то пряма або проходитиме через центр лінії, оскільки вирази та в центрі лінії перетворюються в нуль.

Пряму, яка проходить через центр лінії, називають її діаметром.

Розглянемо два діаметри, які мають спряжені напрямки, тобто кожен із цих діаметрів ділить пополам хорди, паралельні до іншого. Такі діаметри називаютьвзаємно спряженими (на рис. 2 – це діаметри та ).

Очевидно, що спряжені діаметри задаються рівняннями

та .

Кутовий коефіцієнт діаметра дорівнює , а кутовий коефіцієнт діаметра рівний . У випадку, коли , тобто, коли напрям вектора перпендикулярний до осі , рівняння спряжених діаметрів запишуться у виді та .

Задача 2. Знайти рівняння діаметра лінії

,

знаючи, що він паралельний до прямої , а також спряженого до нього діаметра.

Розв’язання. Знаходимо , . Система рівнянь для відшукання центра лінії має очевидний розв’язок . Рівняння діаметра, який паралельний заданій прямій, запишеться у виді або . Оскільки кутовий коефіцієнт знайденої прямої дорівнює , то, використавши рівняння , дістаємо відповідь на другу частину задачі: спряжений діаметр задається рівнянням або . Зауважимо, що цю ж відповідь можна було отримати іншим способом, а саме використавши відомий центр лінії – точку та обчисливши кутовий коефіцієнт шуканого спряженого діаметра за формулою (3): .