Теорема про середини паралельних хорд лінії другого порядку

Розглянемо лінію другого порядку , задану рівнянням

, (1)

та проведемо хорди, які паралельні деякій прямій із напрямним вектором . Нас буде цікавити питання, яку фігуру утворюють середини всіх таких хорд. Насамперед нагадаємо, що для того, щоб деяка точка була серединою хорди , повинна виконуватись умова

.

Оскільки координати будуть змінюватись при переході від однієї хорди до іншої, то, позначаючи їх змінними та , дістаємо, що координати середин паралельних хорд задовольняють умову

або

.

Одержану рівність запишемо у вигляді

. (2)

Якщо коефіцієнти біля змінних та одночасно не перетворюються в нуль, то рівняння (2) буде рівнянням першого степеня і визначатиме на площині деяку пряму (рис. 1).

Окремо дослідимо випадок, коли рівняння (2) не буде рівнянням першого степеня, тобто, коли виконуються умови

.

Оскільки дана система має ненульовий розв’язок , то її визначник . З рівності дістаємо . Якщо дані відношення позначити через , то . Оскільки перше рівняння системи тепер можна записати у виді , то дана система рівносильна одному із своїх рівнянь, нехай першому: . З одержаної рівності дістаємо, що вектор колінеарний вектору . Через деяку точку лінії у напрямку вектора проведемо пряму та знайдемо другу точку її перетину з лінією . У квадратному рівнянні , яке характеризує перетин лінії другого порядку з прямою (лекція 19, п.2), обчислимо коефіцієнт .

.

Цей факт означає, що другої точки перетину прямої та лінії не існує (у лекції 18 ми назвали таку точку нескінченно віддаленою). Оскільки досліджується питання розташування середин паралельних хорд скінченої довжини, то у випадку, коли виконуються умови

,

таких хорд просто не існує.

Таким чином, вірне наступне твердження.

Теорема. Середини паралельних хорд лінії другого порядку утворюють пряму.

Щоб продемонструвати можливості застосування доведеної теореми розглянемо наступну задачу.

Задача 1. Знайти геометричне місце середин хорд параболи , які проведені паралельно до прямої .

Розв’язання. Очевидно, що вектор паралельний до прямої. Обчислимо вирази та , записавши рівняння лінії у виді . Маємо . Із умови отримуємо рівняння .

Відповідь: пряма .