Орієнтовна схема вивчення властивостей лінії другого порядку

У випадку, коли виникає необхідність зобразити лінію , задану рівнянням

,

можна користуватися різними підходами. Деякі з них будуть розглянуті у наступних лекціях. Зараз ми розглянемо, як можна виконувати побудову графіка лінії другого порядку, вивчивши її властивості. Опишемо один із можливих алгоритмів дослідження.

1. Встановлюємо тип лінії. Для цього обчислюємо визначник . Якщо , то задана лінія еліптичного типу, при – параболічного, а при – гіперболічного типу.

2. У випадку, коли , шукаємо центр лінії (див. лекцію 18, п.3). Для цього складаємо систему рівнянь

.

Оскільки , то система має єдиний розв’язок. При цей етап пропускаємо.

3. Шукаємо осі симетрії лінії. Якщо , то рівняння осей симетрії запишуться у вигляді

, ,

де числа та є коренями рівняння .

При віссю симетрії буде пряма, задана рівнянням (див. п.3).

4. У випадку, коли і задана лінія гіперболічного типу, шукаємо асимптоти. Їхні рівняння, як нам відомо (див. п.4), записуються у вигляді , . Числа та у даному випадку є коренями рівняння . Якщо , то рівняння асимптот дістаємо у вигляді , .

5. Шукаємо деякі точки, які належать лінії. Системи

та

дозволяють знайти точки перетину лінії з координатними осями. Системи

,

де () – кутові коефіцієнти осей симетрії, дозволяють знайти вершини лінії. Очевидно, що у випадку еліпса кожна із систем матиме по два розв’язки, а у випадку гіперболи одна із цих систем розв’язків мати не буде.

У випадку параболи система рівнянь та дозволяє знайти її вершину.

Крім знайдених вище точок можна використовувати і інші, зокрема точки, симетричні відносно осей симетрії до точок перетину лінії з координатними осями.

Знайдені вище точки та прямі дозволяють виконати зображення лінії, заданої початковим рівнянням.