Рівняння дотичної та нормалі

Розглянемо питання відшукання рівняння дотичних, проведених до лінії, заданої рівнянням (1). Згідно з попереднім, пряма буде дотичною до лінії , якщо для рівняння , яке характеризує перетин прямої з лінією , виконуються умови . Нехай точка належить лінії, тобто . Умову запишемо у виді рівності . Введемо в розгляд вектор . Оскільки одержану рівність можна записати у виді , що фактично означає, що , то вектор буде перпендикулярним до шуканої дотичної. Таким чином, рівняння дотичної, проведеної до лінії в точці , запишеться у вигляді

. (5)

Нормаллю до лінії, проведеній у деякій її точці, називають пряму, яка перпендикулярна до дотичної, проведеній в цій же точці. Оскільки вектор буде паралельним до нормалі, то рівняння останньої запишеться у вигляді

. (6)

Приклад 3. Скласти рівняння дотичних до еліпса, гіперболи та параболи у довільній точці, яка їм належить, у випадку, коли лінії задані канонічними рівняннями.

Розв’язання. Нехай еліпс заданий рівнянням та точка . Знаходимо

, .

Рівняння (5) запишеться у вигляді

або

.

Оскільки точка належить еліпсу, то . Таким чином, рівняння дотичної до еліпса набуває виду

.

Аналогічно, рівняння дотичної до гіперболи у точці записується у вигляді

.

У випадку параболи запишемо її канонічне рівняння у вигляді , звідки

, .

Тоді (5) набуде вигляду . Оскільки , то рівняння дотичної запишеться

.

Використовуючи одержаний результат, знайдемо точку перетину дотичної з віссю . При дістаємо

.

Це дозволяє зображати дотичну до параболи в заданій на ній точці без додаткових обчислень: друга її точка знаходиться на осі і має ординату .

Нагадаємо, що із виведеними співвідношеннями ми уже зустрічались в лекціях 13–14, п. 6, де для їх отримання довелось використати методи математичного аналізу.

Приклад 4. Знайти множину точок, з яких параболу видно під прямим кутом.

Розв’язання. Нехай – одна із точок шуканої множини, тобто кут між дотичними, які проведені до параболи із даної точки, дорівнює (рис. 9). Запишемо рівняння пучка прямих, які проходять через точку у виді . Даний пучок не містить вертикальних прямих, але такі прямі розглядати не потрібно, оскільки парабола не має вертикальних дотичних. Виберемо з пучка прямі, які дотикаються до параболи. Для цього система рівнянь та повинна мати єдиний розв’язок. На квадратне рівняння , яке дістаємо при розв’язуванні системи, накладемо обмеження, щоб його дискримінант дорівнював нулю. Отримаємо рівняння

.

Кожен з його коренів визначає одну з двох прямих, дотичних до параболи. Ці дві прямі будуть перпендикулярними, якщо виконується умова . Скориставшись теоремою Вієта, дістаємо або . Дане співвідношення пов’язує змінні координати та точки і є рівнянням шуканої множини точок.

Відповідь. Шуканою множиною є точки прямої .

Зауважимо, що для параболи ця пряма є директрисою.