Рівняння асимптот лінії другого порядку

Займемось питанням існування та знаходження асимптот лінії . У лекції 18 (п. 2) ми встановили, що умовою того, щоб пряма мала відносно лінії асимптотичний напрям, у квадратному рівнянні , яке характеризує перетин лінії другого порядку з прямою, коефіцієнт повинен бути рівним нулю. Нагадаємо, що напрям прямої при цьому задається вектором , або кутовим коефіцієнтом , якщо .

Нехай . Очевидно, що у цьому випадку рівність неможлива при , оскільки вектор не може бути нульовим. Розділивши дану рівність на , дістаємо співвідношення

. (7)

Одержане квадратне рівняння має два корені при умові, що , один корінь, якщо та не матиме коренів, якщо .

У залежності від знаку числа лінії другого порядку класифікують наступним чином: якщо , то лінію називають лінією еліптичного типу, при – параболічного, а при – гіперболічного типу.

У випадку, коли лінія гіперболічного типу, рівняння

, , (8)

де та – корені рівняння (7), будуть визначати асимптоти лінії , оскільки відповідні прямі мають асимптотичний напрям та проходять через центр лінії.

При рівняння (7) матиме корінь . Він визначає асимптотичний напрям для нецентральних ліній.

Для ліній еліптичного типу асимптоти відсутні.

У випадку, коли , умова запишеться у вигляді . Звідси дістаємо два вектори, які мають асимптотичний напрям: та . Перший вектор визначає прямі, які мають асимптотичний напрям та перпендикулярні до осі . Другий вектор при має напрям вектора , а при задає прямі з кутовим коефіцієнтом .

При маємо . Тоді лінія параболічного типу. При , дістаємо , тобто лінія гіперболічного типу і має дві асимптоти. У цьому випадку, скориставшись рівністю , рівняння шуканих асимптот дістаємо у вигляді

, .

Задача 6. Знайти рівняння асимптот лінії, заданої рівнянням

.

Розв’язання. Складемо рівняння для відшукання кутових коефіцієнтів асимптотичних напрямків. З рівності (7) дістаємо , звідки , . Оскільки , , то, скориставшись рівнянням (8), дістаємо при пряму , а при пряму .

Відповідь. .