Перетин лінії з прямою. Частинні випадки

Перетнемо лінію другого порядку прямою , яка проходить через деяку точку та паралельна до вектора . Параметричні рівняння прямої запишуться у виді

. (2)

Для відшукання точок перетину лінії та прямої , дістаємо систему рівнянь

.

Розв’язуючи її, отримаємо квадратне рівняння

, (3)

де

,

,

.

Дослідимо особливості взаємного розташування лінії та прямої у випадках, коли деякі коефіцієнти рівняння (3) рівні нулю.

1. Нехай . Оскільки один із коренів рівняння рівний 0, а йому відповідає точка , то у цьому випадку одна із точок перетину лінії та прямої співпадає з точкою (рис. 1).

2. Нехай і рівняння має два дійсні корені . Даним кореням відповідають дві точки перетину . Легко бачити, що у цьому випадку точка є серединою хорди (рис. 2).

3. Нехай . Рівняння має єдиний корінь . Дослідимо, як змінюється другий корінь рівняння (3) при . Маємо

.

Очевидно, що при один із коренів рівняння прямує до , а абсолютна величина другого – до . Згідно із рівностями (2) при одна із точок перетину нескінченно віддаляється від точки . Таку точку ми будемо позначати та говорити, що пряма перетинає лінію в нескінченно віддаленій точці. Напрям прямої при цьому будемо називати асимптотичним. Асимптотичним буде, наприклад, напрям прямої, яка перетинає параболу та проведена паралельно до її осі симетрії (рис. 3).

4. Випадок є поєднанням випадків 1 та 2. Рівняння (3) матиме вид та корені . Пряма буде дотикатись до лінії у точці (рис. 4).

5. При точка належить лінії , а пряма матиме відносно асимптотичний напрям (рис. 5).

6. Якщо , то рівняння (3) не має розв’язків. У цьому випадку пряма не має з лінією спільних точок та має відносно асимптотичний напрям (рис. 6).

7. Коли , то рівняння (3) має розв’язком довільне дійсне число . Тоді кожна точка прямої належить лінії . Це можливо, наприклад, коли лінія вироджується у пару прямих (рис. 7).