![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Розглянемо приклади розв’язання задач, в яких використовуються наведені міркування та співвідношення.
Задача 1. Скласти рівняння дотичних до кола , проведених з точки
.
Розв’язання. І спосіб. Перетворимо рівняння кола до виду
, що дозволяє знайти центр кола - точку
та його радіус
. Складемо рівняння пучка прямих з центром у точці K:
та підберемо параметри
та
так, щоб прямі із одержаного пучка проходили на відстані 1 від точки
. Користуючись формулою відстані від точки до прямої, дістаємо
, або
, звідки після спрощень дістаємо
або
. При
із рівняння пучка дістаємо перший розв’язок:
. Одним з ненульових розв’язків рівняння
є
. Це дозволяє отримати другий розв’язок задачі:
.
Відповідь. .
ІІ спосіб. Оскільки та
, то з прямокутного трикутника
(рис. 9) відрізок KH дотичної, проведеної з точки
до кола, рівний 2. Дотичні до кола утворюють з прямою KS кут
, для якого
. Запишемо рівняння прямої KS у виді рівняння прямої у відрізках на осях
, або
. Кутовий коефіцієнт одержаної прямої буде
. Тепер складемо рівняння пучка з центром у точці K у виді
(при цьому з розгляду випадає пряма
, але, як легко бачити, вона не є дотичною до кола). Виберемо з одержаного пучка дві прямі, виходячи з умови, що вони утворюють з прямою KS кут
, де
. Скориставшись формулою для відшукання кута між двома прямими у виді
, дістаємо
, звідки отримуємо
.
Розв’язуючи одержане рівняння, знаходимо . Підставивши значення
у рівняння пучка, отримуємо попередню відповідь.
ІІІ спосіб. Скористаємось записаним вище рівнянням пучка прямих і виберемо параметр так, щоб система
мала єдиний розв’язок (дотична з колом має єдину спільну точку). Розв’язуючи систему, дістаємо рівняння . Оскільки його дискримінант
, то
. Залишається підставити одержані значення у рівняння пучка та одержати попередню відповідь.
ІV спосіб. Складемо рівняння кола з діаметром KS. Центр його буде знаходитися в точці , а радіус
. Отримаємо
, або
. Точки перетину одержаного кола, та кола, заданого в умові задачі, належать шуканим дотичним. Розв’язуючи систему
, дістаємо
Склавши рівняння прямих, які проходять через кожну з одержаних точок та точку S, отримуємо попередню відповідь.
Задача 2. Задати аналітично множину точок, розташованих між паралельними прямими та
.
Розв’язання. Візьмемо на прямій точку
та встановимо знак виразу
. Оскільки в точці
вираз від’ємний, то нерівність
задає півплощину, яка містить пряму
та обмежена прямою
Аналогічно, вибравши точку
на прямій
, встановлюємо, що вираз
в даній точці приймає додатне значення, тобто нерівність
задає півплощину, яка містить пряму
. Точки, розташовані між прямими, є спільними точками одержаних півплощин.
Відповідь.
.
Задача 3. Скласти рівняння бісектриси того кута, утвореного при перетині прямих та
, якому належить точка
.
Розв’язання. Насамперед складемо рівняння бісектрис кутів, утворених заданими прямими. Оскільки довільна точка бісектриси рівновіддалена від сторін кута, то виконується рівність
або
.
Звідси отримуємо рівняння двох бісектрис:
та
.
Щоб вибрати з них потрібну, візьмемо на першій бісектрисі деяку точку, нехай точку та визначимо знаки для півплощин, у яких вона знаходиться. Підставляючи координати цієї точки у рівняння заданих прямих, встановлюємо, що вона знаходиться у тому куті, який визначається системою нерівностей
. Легко перевірити, що цьому куту належить і задана точка
.
Відповідь. .
Дата публикования: 2015-09-17; Прочитано: 822 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!