![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Множину всіх прямих площини, які проходять через спільну точку, називають пучком прямих з центром у цій точці.
Очевидно, що пучок прямих можна задати, вказавши центр пучка, або задавши центр пучка, як точку перетину двох прямих.
Рівняння
, (1)
де та
– довільні коефіцієнти, які одночасно не дорівнюють нулю, а
– фіксовані, задає рівняння пучка з центром у точці
. Справді, якщо
та
одночасно не рівні нулю, то дане співвідношення є рівнянням першого степеня, тобто задає пряму, яка, очевидно, проходить через точку
. Напрям прямої визначається коефіцієнтами
та
і може бути довільним. Іноді крім рівняння (1), яке містить два змінні параметри
та
, розглядають рівняння пучка з одним параметром у вигляді
, (2)
або
. (3)
Зауважимо, що у цьому випадку пучок (2) не містить однієї з усіх прямих пучка (1), а саме прямої , а з пучка (3) не можна одержати пряму
(в пучку (1) пряму
отримуємо при
, а пряму
– при
).
Нехай центр пучка заданий перетином двох прямих
, (4)
причому . Тоді рівняння пучка можна задати, не розв’язуючи системи (4), тобто не знаходячи центра пучка. Справді, розглянемо рівняння
, (5)
де та
– змінні параметри, які одночасно не дорівнюють нулю. Якщо
– розв’язок системи (4), то він є розв’язком рівняння (5), оскільки кожен із двох доданків у даній точці перетворюється в нуль. Щоб показати, що рівняння (5) є рівнянням першого степеня, тобто є рівнянням прямої, потрібно переконатись, що коефіцієнти біля змінних
та
одночасно не можуть перетворюватися в 0.
Доведемо це методом від супротивного. Нехай та
, а також
. Тоді
, що суперечить умові про існування єдиного розв'язку системи (4) (при
з умови
випливало б, що
, що приводять до суперечності). Те, що пряма (5) може мати довільний напрям, тобто бути паралельною до довільного вектора
, випливає з того, що система
має єдиний розв’язок (нагадаємо, що вектор
є напрямним для прямої (5)). Іноді рівняння пучка (5) записують, користуючись лише одним змінним параметром у вигляді
(6)
або
. (7)
Певним недоліком таких записів є те, що з пучка (7) не можна отримати пряму , а із пучка (6) – пряму
. При розв’язуванні задач із застосуванням рівнянь (6) або (7) такі прямі потрібно розглядати окремо.
Дата публикования: 2015-09-17; Прочитано: 3686 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!