Різні способи задання прямої на площині

Розглянемо основні способи задання прямої на площині.

1). Нехай деяка пряма задана на координатній площині точкою та паралельним до неї вектором (рис. 1). Такий вектор називають напрямним вектором прямої. Тоді для довільної точки на прямій із колінеарності векторів та випливає, що , або у координатній формі , . Звідси при та отримуємо співвідношення

(3)

Очевидно, що одержане рівняння є рівнянням першого степеня. Його називають канонічним рівнянням прямої.

Якщо у попередньому випадку (), то для всіх точок прямої виконується рівність (). Одержані співвідношення і будуть задавати рівняння прямої.

2). Нехай пряма задана двома точками та .Для того, щоб скласти її рівняння, скористаємось співвідношенням (3), замінивши точку точкою , та вибравши у ролі вектора вектор . У цьому випадку отримуємо рівність

_. (4)

Одержане рівняння називають рівнянням прямої, що проходить через дві задані точки.

3). Прирівнявши відношення у рівності (3) до параметра , дістаємо

, ,

звідки

. (5)

Записані рівності називають параметричними рівняннями прямої. Якщо напрямний вектор – одиничний, тобто , то із (5) дістанемо

,

У цьому випадку модуль параметра має цілком конкретний геометричний зміст – це відстань між точками та на заданій прямій.

4). Нехай пряма d відтинає на координатних осях та відрізки з довжинами та (рис. 2). Тоді на прямій будуть відомі дві точки та і ми можемо скористатись рівністю (2). Дістаємо , або . Розділивши одержане рівняння на , дістанемо

. (6)

Одержане співвідношення називають рівнянням прямої у відрізках на осях.

5). Нехай система координат прямокутна декартова, а пряма d задається в ній точкою та перпендикулярним до неї вектором (рис. 3). Такий вектор називають вектором нормалі до прямої або нормальним вектором. Точка належить прямій d тоді і тільки тоді, коли вектори та будуть перпендикулярні, тобто тоді і тільки тоді, коли їхній скалярний добуток рівний нулю. Із рівності дістаємо

(7)

Одержане співвідношення називають рівнянням прямої, що проходить через задану точку перпендикулярно до даного напрямку.

6). Нехай пряма утворює з додатнім напрямком осі Ох кут (система координат вважається прямокутною декартовою) та проходить через точку (рис. 4). Знайдемо напрямний вектор до прямої . Очевидно що за допомогою кута його координати можна виразити рівностями . Скориставшись рівнянням (3), дістанемо

,

звідки

, (8)

або

, ()

де .

Рівняння (8) та () називають рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом.

Кутовий коефіцієнт визначає кут нахилу прямої до осі . Очевидно, що рівняння прямих, які перпендикулярні до осі , у вигляді (8) подати не можна.

Розглянуті нами вище варіанти різних способів задання прямої в усіх випадках проводять до рівняння прямої у вигляді (1). Тому рівняння називають загальним рівнянням прямої.

У якому вигляді записувати рівняння прямої залежить від задачі, яка розв’язується. Наприклад, якщо трикутник заданий координатами своїх вершин, то рівняння медіан легко отримати, користуючись рівнянням прямої, що проходить через дві точки. Для того, щоб скласти рівняння висот, доцільно використовувати рівняння прямої, що проходить через точку перпендикулярно до заданого вектора. У ролі останнього досить взяти вектор, який сполучає дві інші вершини трикутника. При написанні рівняння бісектриси трикутника можна скористатися її напрямним вектором , або де вектори, які побудовані на сторонах трикутника і виходять із спільної вершини. В обох випадках вектор , як вектор суми двох рівних за довжиною векторів, співпадає з діагоналлю ромба, яка, як відомо, є бісектрисою його кута.

Водночас зауважимо, що у вигляді (3) не записують рівняння прямих, якщо одна із координат напрямного вектора рівна 0. У вигляді (4) не записують рівняння прямих, що проходять через дві точки з рівними абсцисами або ординатами. У вигляді (8) не можна записати рівняння прямих, які перпендикулярні до осі .