Взаємне розташування двох прямих на площині. Умова паралельності. Кут між двома прямими. Умова перпендикулярності

Нехай дві прямі d ₁ та d₂ задані відповідно рівняннями:

,

.

Щоб встановити їхнє взаємне розташування на площині, розглянемо напрямні вектори цих прямих: та . Будемо вважати, що прямі не паралельні до жодної із координатних осей, оскільки у цьому випадку відповідь на питання про розташування прямих очевидна. Тоді вектори, які ми розглядаємо, не матимуть нульових координат. Прямі та будуть паралельними тоді і тільки тоді, коли вектори та колінеарні, тобто, коли виконується рівність .

Умова є необхідною і достатньою умовою паралельності прямих та .

Якщо , то прямі та перетинаються.

Паралельні прямі та співпадатимуть, якщо точка прямої належить другій прямій, тобто виконуються рівності , . Нехай . Тоді, підставляючи в перше рівняння , дістаємо , або, враховуючи друге рівняння, . Звідси . Отже, якщо прямі та співпадають, то . Вірне і обернене твердження.

Пропонуємо самостійно розглянути умови паралельності, перетину та співпадання прямих у випадку, коли їхні рівняння задаються у вигляді та .

У випадку перетину прямих та можна поставити питання про величину кута між прямими, зокрема встановити, в якому випадку прямі будуть перпендикулярними. Систему координат при цьому вважатимемо прямокутною декартовою.

Очевидно, що кут між прямими та визначається кутом між паралельними до цих прямих векторами та (рис. 3).

Знаходячи за допомогою скалярного добутку кут між даними векторами, дістаємо

.

Зокрема, прямі та будуть перпендикулярними тоді і тільки тоді, коли вектори та ортогональні (рис. 4), тобто, якщо . Останнє співвідношення рівносильне рівності

,

яка виражає необхідну і достатню умову перпендикулярності двох прямих, заданих загальними рівняннями.

Нехай прямі та задані рівняннями та . Тут та – кутові коефіцієнти, тобто тангенси кутів та , які утворюють прямі з додатнім напрямом осі . Нагадаємо, що при цьому випадають із розгляду прямі, які перпендикулярні до осі . Нехай . Оскільки (рис. 5), то

звідки

Випадок перпендикулярності прямих та характеризується умовою (рис. 6). Тому

,

тобто

.

Одержана рівність виражає необхідну і достатню умову перпендикулярності двох прямих, заданих своїми рівняннями з кутовими коефіцієнтами.