Геометричний зміст знаку виразу . Пряма яка розглядається в деякій афінній системі координат , розбиває площину на дві півплощини з границею d

Пряма яка розглядається в деякій афінній системі координат , розбиває площину на дві півплощини з границею d. Встановимо умови, які визначають ці півплощини. Насамперед відмітимо, що вектор не може бути паралельним до прямої . Справді, нам відомо, що вектор паралельний до прямої. Тоді якби вектори та були колінеарними, то виконувалася б рівність , або , що неможливо, оскільки коефіцієнти та в рівнянні прямої одночасно не можуть дорівнювати нулю. Обчислимо значення виразу для довільної точки , яка не належить прямій . Для цього через точку проведемо пряму паралельно до вектора та позначимо точку її перетину з прямою через (рис. 8). Із колінеарності векторів та тобто з рівності випливають співвідношення , . Тому

.

Отже, знак виразу залежить тільки від знаку числа . При вектори та співнапрямлені, тому точки, для яких має місце нерівність утворюють одну півплощину, а при вектори напрямлені протилежно, тому точки, для яких виконується нерівність , будуть утворювати іншу півплощину з границею .