Задачі. Наведемо приклади задач, які можна розв’язувати за допомогою отриманих вище співвідношень

Наведемо приклади задач, які можна розв’язувати за допомогою отриманих вище співвідношень.

Задача 1. Довести, що медіани трикутника перетинаються в одній точці та діляться нею у відношенні , рахуючи від вершини.

Розв’язання. Нехай задано трикутник ОВС. Виберемо систему координат у вигляді репера (рис.5). Тоді точки , та будуть серединами сторін та відповідно. Складемо рівняння медіан та , користуючись рівнянням прямої у відрізках на осях. Дістаємо або , або . Нехай прямі перетинаються у точці . Її координати ми знайдемо із системи

,

розв’язуючи яку, дістаємо . Рівняння медіани можна шукати у вигляді , оскільки пряма проходить через початок координат і не співпадає з віссю . Підставляючи координати точки , дістаємо , тобто . Отже, рівняння медіани має вигляд . Підставляючи знайдені вище координати точки в одержане рівняння, переконуємось у тому, що точка належить медіані , тобто медіани перетинаються в одній точці. Порівнюючи координати векторів та , бачимо, що . Аналогічно встановлюємо, що , . Задача розв’язана.

В лекції 4 був наведений векторний спосіб розв’язання даної задачі. Ми повернулися до неї з метою продемонструвати різноманітність методів аналітичної геометрії.

Задача 2. Знайти ортоцентр (точку перетину висот) трикутника з вершинами у точках , , та .

Розв’язання. Рівняння висоти складемо, знаючи вершину А та знайшовши вектор , який перпендикулярний до висоти . Скориставшись співвідношенням (7), дістаємо або Аналогічно, знайшовши вектор , дістаємо рівняння висоти : або . Ортоцентр (точку ) знаходимо, розв’язавши систему рівнянь

Відповідь. .

Задача 3. Знайти сторону квадрата, вписаного у прямокутний трикутник з катетами , знаючи, що дві сторони квадрата належать катетам трикутника.

Розв’язання. Нехай сторона квадрата рівна . Введемо в розгляд систему координат, вибравши початок координат у вершині прямого кута та спрямувавши координатні осі вздовж катетів трикутника. Скориставшись рівнянням прямої у відрізках на осях, запишемо рівняння гіпотенузи у виді Оскільки вершина квадрата, яка належить гіпотенузі, має координати то виконується рівність звідки .

Відповідь. .

Задача 4. Довести, що середини паралельних основ трапеції, точка перетину її діагоналей та точка, в якій перетинаються прямі, яким належать бічні сторони, перетинаються в одній точці.

Доведення. Нехай – задана трапеція, точки та – середини основ та , – точка перетину діагоналей, – точка перетину прямих та , яким належать бічні сторони (рис. 6). Введемо в розгляд систему координат . Очевидні координати точок: .

Число дорівнює відношенню довжин меншої та більшої основ. Покажемо, що точки та належать прямій . Рівняння знайдемо, користуючись рівнянням прямої, що проходить через дві задані точки. Дістаємо , або .

Для відшукання точки складемо рівняння діагоналей. Рівняння діагоналі запишеться у вигляді або (ми використали рівняння прямої у відрізках на осях), а рівняння діагоналі шукатимемо у вигляді . Тепер, підставляючи координати точки , отримуємо , звідки . Із системи рівнянь маємо . Знайдені координати задовольняють рівняння прямої , отже, точка належить цій прямій.

Для відшукання точки складемо рівняння прямої : . Підставляючи в одержане рівняння значення , дістаємо . Залишається переконатися, що знайдені координати точки теж задовольняють рівняння прямої .

Цим самим розв’язання задачі завершується.

Із шкільного курсу геометрії відома задача, як, користуючись циркулем та лінійкою, поділити заданий відрізок пополам. Доведена нами теорема дозволяє знайти алгоритм поділу відрізка пополам одною двосторонньою лінійкою (за допомогою двосторонньої лінійки можна проводити довільні відрізки, прямі, а також дві паралельні прямі із сталою відстанню між ними, що дорівнює ширині лінійки). Наведемо розв’язок цієї задачі.

Нехай задано відрізок . Проведемо за допомогою двосторонньої лінійки паралельну до нього пряму і виберемо на ній відрізок такий, що (рис. 6). Нехай діагоналі трапеції перетинаються у точці , а прямі та – у точці . Пряма проходить через середину відрізка .