Вычисление поверхностного интеграла второго рода с помощью двойного интеграла

Для вычисления интеграла (1) можно применить формулы (2) или (3) из I.I.

Пусть вначале гладкая двусторонняя поверхность без особых точек задана параметрическими уравнениями

.

Выберем ту сторону поверхности , на которой . Тогда, учитывая формулы (…) и (2) из 1.2., получаем:

.

Аналогично,

,

.

Если гладкая поверхность задана явно уравнением , то, согласно формуле (3) из 1.2., имеем

(3),

где - проекция поверхности на плоскость xOy.

Перед двойным интегралом в формуле (3) берется знак “+”, если поверхность ориентирована нормалями, составляющими с осью Оz острый угол, и знак “-”,если поверхность ориентирована нормалями, составляющими с осью Оz тупой угол.

Аналогично получаются формулы для вычисления интегралов и , если поверхность задана соответственно уравнением или .