Независимость криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования

Пусть и - любые точки, принадлежащие области . Если интеграл (2) принимает одно и то же значение независимо от того, какая кривая соединяет точки и , лишь бы она целиком принадлежала области , то говорят, что интеграл (2) не зависит от пути интегрирования в области , а зависит только от начальной и конечной точек.

Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования:

1. Для любого замкнутого кусочно гладкого контура , расположенного в области , справедливо равенство

.

2. Выражение является полным дифференциалом, т.е. в области существует функция , такая, что

.

При этом для любой кусочно гладкой кривой , лежащей в области , имеет место равенство

.

Функция же может быть найдена по формуле

,

где в правой части представляет собой криволинейный интеграл второго рода по произвольной кривой , лежащей в области и соединяющей какую-нибудь фиксированную точку с точкой , а - произвольная постоянная. В качестве кривой часто бывает удобно брать ломаную, состоящую из двух отрезков, параллельных осям координат. Тогда

(5)

3. Если - односвязная область, а функции и непрерывны в и имеют там непрерывные частные производные первого порядка, причем выполняется равенство

. (6)