Формула Грина

Теорема 7. Пусть замкнутая область на плоскости ограничена простым кусочно гладким контуром , а функции и непрерывны в вместе со своими частными производными первого порядка. Тогда справедливо равенство

, (7)

где контур обходится в положительном направлении.

Формула (7) называется формулой Грина. Она связывает криволинейный интеграл второго рода по границе области с двойным интегралом по самой области.

Замечание 7. Полагая в формуле Грина , а затем и учитывая, что равен площади области , получим выражения площади плоской фигуры через криволинейный интеграл по ее границе:

, . (8)

Пусть и - произвольные числа, такие, что . Умножая первое из равенств (7) на , а второе на и складывая, получим еще одну формулу для площади:

.

Наиболее употребительна эта формула при :

. (9)