Определение криволинейного интеграла второго рода

Пусть - простая спрямляемая незамкнутая кривая, заданная параметрически:

, (1)

при этом . Пусть на кривой заданы две непрерывные функции и . Разобьем сегмент на частей точками . При этом кривая разобьется на частей точками в направлении от к . Пусть - координаты точки , , - длина дуги , . На каждой частичной дуге возьмем некоторую точку и составим две интегральные суммы:

Определение. Число называется пределом интегральных сумм при , если такое, что для любого разбиения кривой, у которого , и для любого выбора промежуточных точек выполняется неравенство

.

Если существует , то он называется криволинейным интегралом второго рода вдоль кривой и обозначается следующим образом:

Сумма называется общим криволинейным интегралом второго рода и обозначается так:

. (2)

Из определения криволинейного интеграла второго рода следует, что при изменении направления обхода кривой изменяется и знак интеграла, т.е.