Вычисление криволинейного интеграла первого рода с помощью определенного интеграла

Простая кривая заданная уравнениями (1), называется гладкой (кусочно гладкой), если функции и имеют непрерывные (кусочно непрерывные) производные, одновременно не обращающиеся в нуль на (на , за исключением конечного числа точек).

Теорема 5. Если - кусочно гладкая кривая, заданная уравнения (1), и функция кусочно непрерывна вдоль кривой , то существует криволинейный интеграл (2) и справедливо равенство

. (3)

Замечание 5. Предположим, что непрерывна вдоль кривой . Тогда имеют место следующие утверждения.

1. Если кривая задана уравнением , и имеет непрерывную производную на , то существует интеграл (2) и справедливо равенство

. (4)

2. Если кривая задана в полярных координатах уравнением , и имеет непрерывную производную на , то существует интеграл (2) и имеет место равенство

(5)

3. Для гладкой пространственной кривой, заданной параметрически уравнениями

,

справедлива формула

(6)

Основные свойства криволинейного интеграла первого рода:

1) Криволинейный интеграл первого рода не зависит от направления пути интегрирования:

.

2) .

3) , где .

4) Если контур интегрирования разбит на две части и , то

.