Криволинейные координаты

Формулы (5) можно рассматривать как формулы перехода к новым, криволинейным координатам в области . Рассмотрим два примера наиболее употребительных криволинейных координат.

Цилиндрические координаты. Пусть - произвольная точка в пространстве , - проекция точки на плоскость (рис. 1). Точка однозначно задается тройкой чисел , где - полярные координаты точки на плоскости , - аппликата точки . Тройка чисел называется цилиндрическими координатами точки .

z

z

M(x,y,z)

О y

M₀(x,y,0)

x

Рис. 1.

Переход от прямоугольных координат к цилиндрическим задается формулами

(7)

Якобиан отображения (7) равен . Элемент объема при переходе к полярным координатам принимает вид .

Сферические координаты. Пусть - произвольная точка в пространстве , - проекция точки на плоскость (рис. 2). Точка однозначно задается тройкой чисел , где - расстояние точки от точки (начала координат), - угол между лучами и , - полярный угол точки на плоскости .

z

M(x,y,z)

О y

M₀(x,y,0)

x

Рис. 2.

Тройка чисел называется сферическими координатами точки . Переход от прямоугольных координат к сферическим задается формулами

(8)

Якобиан отображения (8) равен .