![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Уравнение 1-го порядка
, (5)
линейное относительно функции и ее производной
, называется линейным уравнением 1-го порядка (относительно
).
Уравнение - линейное относительно
.
Теорема 3. Если , то уравнение (5) интегрируется в квадратурах, и его единственное решение имеет вид:
.
Пример 7. Решить уравнение
.
Решение. Переписав данное д.у. в виде
,
убеждаемся, что это - линейное относительно д .у.
1-й способ. Применим метод вариации произвольной постоянной. Для этого найдем вначале общее решение соответствующего однородного д.у.
или
.
Это д.у. с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, находим его общее решение: . Проварьируем постоянную
, т.е.
далее будем считать ее функцией от . Тогда имеем:
. (6)
Найдем отсюда и подставим
в данное д.у. Тогда получим
,
откуда или с учетом (6) окончательно находим
.
Ответ. .
2-й способ. Применим подстановку , где
- неизвестные функции от
. В новых переменных данное уравнение имеет вид (
):
. (7)
Приравняем выражение в скобке к нулю и найдем любое частное решение уравнения
.
Это д.у. с разделяющимися переменными. Одно из его решений . С учетом найденного уравнение (7) принимает вид:
,
откуда . В итоге имеем
или
.
Ответ. .
Дата публикования: 2015-09-17; Прочитано: 207 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!