![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Основные понятия. Построение дифференциального уравнения заданного семейства кривых
Функциональное уравнение, связывающее неизвестную функцию, независимые аргументы и производные (или дифференциалы) этой функции, называется дифференциальным.
Если неизвестная функция является функцией одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным; если неизвестная функция является функцией нескольких переменных, то - дифференциальным уравнением в частных производных.
Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной неизвестной функции, входящей в уравнение.
Дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид:
, (1)
где - заданная функция от своих аргументов,
- неизвестная функция.
Функция из класса
называется решением дифференциального уравнения (1), если после замены
на
,
на
,…,
на
оно обращается в тождество на промежутке
.
Задача нахождения решения уравнения (1), удовлетворяющего начальным условиям
, (2)
называется задачей Коши для уравнения (1).
Общим решением д.у. n-го порядка (1) называется функция с n произвольными постоянными, удовлетворяющая условиям:
1) если функция удовлетворяет уравнению (1) при любых допустимых значениях
;
2) если заданы начальные условия (2), то найдутся такие значения , что
будет являться решением уравнения (1), удовлетворяющим этим начальным условиям.
Частным решением д.у. n-го порядка (1) называется любая функция , получающаяся из общего решения
при конкретных значениях
.
Уравнение будем называть общим интегралом дифференциального уравнения
в области D, если при соответствующем выборе постоянных
это уравнение дает любую интегральную линию нашего уравнения, проходящую в области D. Соответственно уравнение
, получающееся из общего интеграла при конкретных значениях
, будем называть частным интегралом дифференциального уравнения
в области D.
Основной задачей теории дифференциальных уравнений является разыскание всех решений данного д.у. и изучение свойств этих решений.
ГЛАВА I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Дата публикования: 2015-09-17; Прочитано: 248 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!