Глава I. Дифференциальные уравнения

Основные понятия. Построение дифференциального уравнения заданного семейства кривых

Функциональное уравнение, связывающее неизвестную функцию, независимые аргументы и производные (или дифференциалы) этой функции, называется дифференциальным.

Если неизвестная функция является функцией одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным; если неизвестная функция является функцией нескольких переменных, то - дифференциальным уравнением в частных производных.

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной неизвестной функции, входящей в уравнение.

Дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид:

, (1)

где - заданная функция от своих аргументов, - неизвестная функция.

Функция из класса называется решением дифференциального уравнения (1), если после замены на , на ,…, на оно обращается в тождество на промежутке .

Задача нахождения решения уравнения (1), удовлетворяющего начальным условиям

, (2)

называется задачей Коши для уравнения (1).

Общим решением д.у. n-го порядка (1) называется функция с n произвольными постоянными, удовлетворяющая условиям:

1) если функция удовлетворяет уравнению (1) при любых допустимых значениях ;

2) если заданы начальные условия (2), то найдутся такие значения , что будет являться решением уравнения (1), удовлетворяющим этим начальным условиям.

Частным решением д.у. n-го порядка (1) называется любая функция , получающаяся из общего решения при конкретных значениях .

Уравнение будем называть общим интегралом дифференциального уравнения в области D, если при соответствующем выборе постоянных это уравнение дает любую интегральную линию нашего уравнения, проходящую в области D. Соответственно уравнение , получающееся из общего интеграла при конкретных значениях , будем называть частным интегралом дифференциального уравнения в области D.

Основной задачей теории дифференциальных уравнений является разыскание всех решений данного д.у. и изучение свойств этих решений.

ГЛАВА I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ