Решение систем линейных уравнений

Определители используются при решении систем линейных уравнений. Произвольная система линейных уравнений имеет вид:

,

(4.1)

где , – натуральные числа. Числа называются коэффициентами системы, а числа – свободными членами. Числа и являются заданными. называются неизвестными. Необходимо определить их значения.

Определение 4.1. Решением системы (4.1) называется всякая совокупность чисел , подстановка которых в исходную систему вместо соответствующих неизвестных обращает каждое уравнение системы в тождество.

Определение 4.2. Две системы линейных уравнений называются тождественными, если решение первой системы является решением второй и наоборот.

Определение 4.3. Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной.

Определение 4.4. Система, имеющая единственное решение, называется определенной, а имеющая более одного решения - неопределенной.

Определение 4.5. Матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных называется основной, а матрица, полученная добавлением к основной матрице столбца свободных членов , называется расширенной матрицей системы (4.1). Критерий совместности для системы уравнений (4.1) определяет следующая теорема.

Теорема 4.1 (Теорема Кронекера-Капелли). Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной.

Определение 4.6. Система, в которой все свободные члены равны нулю, называется однородной. Если хотя бы один из свободных членов не равен нулю, то система называется неоднородной.

Однородная система всегда совместна (имеет единственное решение), так как для нее .

Рассмотрим существующие методы решения систем линейных уравнений.