Метод Гаусса-Жордано

Данный метод еще называют методом исключения неизвестных. Суть его состоит в том, что исходную матрицу преобразуют по строкам так, чтобы обнулить коэффициенты при неизвестных, и привести матрицу к треугольному виду.

Пример 4.12. Решить систему линейных уравнений, используя правило Крамера, матричным методом и методом Гаусса-Жордано:

.

Решение (правило Крамера). Согласно правилу Крамера нужно составить определители системы и соответствующие каждому неизвестному. И затем по формуле (4.4) найти решение.

1. Найдем определитель системы:

.

2. Найдем определители для каждого неизвестного, заменяя столбец коэффициентов при этом неизвестном, столбцом свободных членов:

;

.

.

3. Теперь по формуле (4.4) определим значения неизвестных:

; ; .

Ответ: ; ; .

Решение (матричным методом):

1. Введем обозначения:

; ; ,

тогда исходную систему можно переписать в виде: .

2. Решение такой системы определяется по формуле (4.5), в которую входит матрица обратная к исходной . Найдем ее:

2.1 определитель исходной матрицы мы уже находили, он равен: ;

2.2 транспонируем исходную матрицу: ;

2.3 для каждого элемента транспонированной матрицы нужно найти алгебраические дополнения:

; ; ; ; ; ; ; ; .

2.4 записать их в транспонированную матрицу вместо ее элементов и разделить каждый элемент на определитель исходной матрицы:

.

3. Подставляем в формулу (4.5):

.

Ответ: .

Решение (методом Гаусса-Жордано):

Составляем расширенную матрицу системы и преобразуем к треугольному виду. Умножим элементы первой строки на (-2) и сложим с соответствующими элементами третьей строки. Затем умножим элементы второй строки на 3 и сложим с соответствующими элементами третьей строки:

получили треугольную матрицу, которая соответствует системе:

.

Ответ: ; ; .