Основные операции над матрицами

Определение 4.8. Суммой матриц и одинаковой размерности называется матрица такой же размерности, элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц и :

.

(4.1)

Обозначают операцию сложения как .

Пример 4.1. Найти сумму матриц и , где , .

Решение:

Ответ: .

Определение 4.9. Результатом умножения матрицы на число является матрица (такой же размерности, что и исходная), у которой элементы равны соответствующим элементам исходной матрицы, умноженным на это число: или

Пример 4.2. Найти матрицу , где , .

Решение: .

Ответ: .

Определение 4.10. Разность матриц и определяется через введенные выше операции: .

Пример 4.3. Найти разность матриц : и .

Решение: .

Ответ: .

Определение 4.11. Пусть даны две матрицы и , причем число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . Произведением на называется матрица , элементы которой находятся по формуле: , .

Пример 4.4. Найти произведение двух матриц: и .

Решение: .

Ответ: .

Правило умножения матриц иногда формулируют так: чтобы получить элемент, стоящий в -той строке и -том столбце матрицы равной произведению двух матриц, нужно элементы -той строки первой матрицы умножить на соответствующие элементы -того столбца второй матрицы и полученные произведения сложить. Отсюда становится понятно, что требование одинаковых размерностей по столбцам первой матрицы и строкам второй матрицы является важным условием для существования произведения этих матриц.

В частности, при умножении вектора-строки и вектора-столбца одинаковой размерности получится число (равное скалярному произведению векторов): . Наоборот, если перемножить вектор-столбец на вектор-строку получится квадратная матрица: .

Перечислим свойства операций над матрицами:

1) 2) 3) 4) Для матрицы : 5) 6) 7) 8) ; 9) ;

10) 11) 12) 13) ; . 14) 15) 16) Для любой квадратной матрицы .

Замечание. Относительно свойств 12) и 13) заметим, что если действия, указанные по одну сторону равенств, возможны, то возможны и действия, указанные по другую сторону равенства, и результаты в обеих частях одинаковы.

Определитель матрицы. Необходимость во введение понятия определителя связано с решением систем линейных уравнений. Обозначается определитель как , или , или .

Определение 4.12. Определителем матрицы первого порядка , или определителем первого порядка называется элемент : .

Определение 4.13. Определителем матрицы второго порядка называется число, определяемое как разность между произведением элементов главной диагонали и произведением элементов побочной диагонали: .

Пример 4.5. Вычислить определитель матрицы 2-го порядка: .

Решение: По формуле для вычисления определителя 2-го порядка имеем: .

Ответ: 16.

Определение 4.14. Определителем матрицы третьего порядка называется число, определяемое по формуле:

.

В данное выражение входит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы. Можно не запоминать данное выражение, так как в дальнейшем выведем более простое правило нахождения определителя любого порядка .

Определение 4.15. Минором произвольного элемента матрицы называется определитель , который получается вычеркиванием -той строки и -того столбца, на пересечении которых расположен данный элемент.

Определение 4.16. Алгебраическим дополнением элемента определителя матрицы называется его минор, взятый со знаком . Алгебраическое дополнение обозначается как , следовательно: .

Пример 4.6. Найти минор и алгебраическое дополнение элемента определителя матрицы: .

Решение: 1)Элемент, для которого ищем минор и алгебраическое дополнение, находится на пересечении 2-ой строки и 3-го столбца: .

2)Для нахождения его минора вычеркнем эти строку и столбец из определителя матрицы и запишем оставшиеся элементы: . 3)Тогда алгебраическое дополнение элемента определится как: .

Ответ: .

Вычисление определителя квадратной матрицы произвольного порядка осуществляется согласно следующей теореме.

Теорема 4.1 (теорема Лапласа). Определитель матрицы равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки (или столбца) на их алгебраические дополнения: , где - фиксировано. Данное выражение еще называют разложением определителя по элементам строки с номером . Аналогично можно записать разложение определителя по элементам фиксированного столбца:

.

Пример 4.7. Вычислить определитель: .

Решение: Для вычисления разложим определитель по элементам первой строки: .

Ответ: .

Пример 4.8. Вычислить определитель: .

Решение: Для вычисления разложим определитель по элементам первой строки:

Далее разложим каждый определитель 3-го порядка по элементам соответствующих первых строк:

.

Ответ: .

Таким образом, вычисление определителя 3-го порядка сводится к вычислению трех определителей второго порядка. Вычисление определителя 4-го порядка сводится к вычислению четырех определителей третьего порядка и т.д. Можно сказать, что вычисление определителя -го порядка сводится к вычислению определителей меньшего порядка, но при этом, число этих определителей увеличивается. Такой способ является неэффективным.

Приведем ряд свойств, которые позволяют определить другой способ вычисления определителя -го порядка.

1) Определитель равен нулю, если содержит две одинаковые строки (или два одинаковых столбца) или нулевую строку (нулевой столбец).

2) Определитель меняет знак при перестановке двух строк (столбцов).

3) При умножении строки (столбца) на число определитель умножается на это число.

4) Определитель не меняется, если к строке (столбцу) прибавить любую другую строку (столбец), умноженный на произвольное число.

5) Определитель квадратной транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

6) Определитель единичной матрицы равен единице: .

7) Определитель произведения матриц равен произведению определителей: .

Исходя из этих свойств, можно упростить вычисление определителя -го порядка, а именно, с их помощью определитель последовательно преобразуют к такому виду, чтобы в какой-нибудь строке (столбце) все элементы, кроме одного, стали нулевыми. Затем вычисляют определитель разложением по этой строке (столбцу).

Пример 4.9. Вычислить определитель из предыдущего примера:

.

Решение: Задача состоит в том, чтобы получить как можно больше нулей в какой-нибудь из строк или столбцов, и, затем разложить по этой строке (столбцу) определитель. Получим нуль в первой строке в первом столбце. Для этого умножим элементы четвертого столбца на (-1) и сложим с элементами первого столбца, при этом определитель не изменится:

{Умножим четвертый столбец на (-2) и сложим со вторым столбцом} {Теперь разложим по первой строке полученный определитель} {По аналогии с предыдущими рассуждениями преобразуем определитель третьего порядка так, чтобы элемент, находящийся в первой строке и первом столбце оказался равным нулю. Для этого сложим элементы первой и второй строк} {Получим еще один нуль. Это удобно сделать либо с элементами первой строки, либо первого столбца. В данном случае удобнее обнулить элемент во второй строке первом столбце. Для этого умножим вторую строку на (-1) и сложим с третьей строкой} {Разложим определитель по элементам первого столбца} .

Ответ: .

Как видим, ответ получился такой же, что и подтверждает идентичность приведенных способов вычисления определителей. Но во втором способе, фактически, вычисляется всего один определитель второго порядка.

Используя данный способ легко вычислить определители матриц диагонального вида и треугольных матриц: он равен произведению элементов, расположенных на диагонали:

Определители треугольных и диагональных матриц вычисляются как результат умножения всех диагональных элементов. Пусть матрицы и – две треугольные матрицы вида:

, ,

а матрица – диагональная матрица вида:

,

тогда определители этих матриц соответственно равны:

, , .

Определение 4.17. Квадратная матрица называется обратной к матрице , если для этих матриц выполняются следующие условия: , , где – единичная матрица.

Обратную матрицу имеет только квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля. Причем, определители прямой и обратной матриц связаны соотношением: , что следует из определения обратной матрицы.

Если у матрицы не существует обратной (определитель равен нулю), то матрица называется вырожденной.

Обратная матрица обладает свойствами:

1) Если обратная матрица существует, то она единственна.

2) Если матрица является обратной для матрицы , то и матрица является обратной для матрицы : .

3) Если у квадратных матриц и существуют обратные им матрицы, то и у их произведения также существует обратная матрица, для которой справедливо соотношение: .

Элементы обратной матрицы определяются следующим образом:

1. Находится определитель прямой матрицы .

2. Записывается транспонированная матрица .

3. Находятся алгебраические дополнения для каждого элемента транспонированной матрицы и записываются в транспонированную матрицу вместо ее элементов: .

4. Каждый элемент полученной матрицы делится на определитель прямой матрицы .

Пример 4.10. Найти матрицу обратную матрице .

Решение: 1)Находим определитель исходной матрицы: на первом шаге умножаем элементы третьего столбца на (-1) и складываем с элементами первого столбца, затем элементы третьего столбца умножаем на (-2) и складываем с элементами второго столбца, таким образом, получаем два нуля в первой строке и раскладываем определитель по первой строке:

.

2)Записываем транспонированную матрицу: .

3)Находим алгебраические дополнения к каждому элементу матрицы:

; ;

; ;

; ;

; ;

.

1. Записываем вместо элементов матрицы их алгебраические дополнения:

2. Чтобы данная матрица стала обратной к исходной нужно каждый элемент этой матрицы разделить на определитель исходной матрицы :

.

3. Докажем, что полученная матрица является обратной для исходной, то есть для этих матриц выполняется соотношение , для удобства вычислений запишем обратную матрицу как произведение вспомогательной матрицы на величину, обратную определителю матрицы : .

Ответ: .